《2014届高考理科数学一轮复习考向分析教材回扣训练：2.11《变化率与导数、导数的计算》（新人教a版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考理科数学一轮复习考向分析教材回扣训练：2.11《变化率与导数、导数的计算》（新人教a版）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y的导数4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题，如2012年广东T12，辽宁T12等2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导数及求导法则的正确利用.归纳知识整合1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数
2、，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)为f(x)的导函数探究1.f(x)与f(x0)有何区别与联系？提示：f(x)是一个函数，f(x0)是常数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值2曲线yf(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜
3、率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条3过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数yf(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点2几种常见函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)3导数的运算法
4、则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积自测牛刀小试1(教材习题改编)f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为()A0B3C4 D解析：选Bf(x)x32x1，f(x)x22.f(1)3.2曲线y2xx3在x1处的切线方程为()Axy20 Bxy20Cxy20 Dxy20解析：选Af(x)2xx3，f(x)23x2.f(1)231.又f(1)211，
5、切线方程为y1(x1)，即xy20.3yx2cos x的导数是()Ay2xcos xx2sin xBy2xcos xx2sin xCy2xcos xDyx2sin x解析：选By2xcos xx2sin x.4(教材习题改编)曲线y在点M(，0)处的切线方程是_解析：f(x)，f(x)，f().切线方程为y(x)，即xy0.答案：xy05(教材习题改编)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.解析：由题意知f(5)1，f(5)583，f(5)f(5)312.答案：2导数的计算例1求下列函数的导数(1)y(1)；(2)y；(3)ytan x；(4)y3xex2
6、xe.自主解答(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.若将本例(3)中“tan x”改为“sin ”如何求解？解：ysin sin cos sin xycos x 求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少
7、运算量1求下列函数的导数(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y；(4)y.解：(1)yxx3，y(x)(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y，y.(4)ycos xsin x，ysin xcos x.例2求下列复合函数的导数：(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yln(2x5)自主解答(1)设u2x3，则y(2x3)5由yu5与u2x3复合而成，yf(u)u(x)(u5)(2x3)5u4210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y由yu与u3x复合而成
8、yf(u)u(x)(u)(3x)u(1)u.(3)设yu2，usin v，v2x，则yxyuuvvx2ucos v24sincos2sin.(4)设yln u，u2x5，则yxyuux，y(2x5).复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系2求下列复合函数的导数：(1)y(1sin x)2；(2)yln ；(3)y；(4)yx.解：(1)y2(1sin x)(1sin x)2(1sin x)cos x.(2)y(ln )( )(
9、x21)(x21).(3)设u13x，yu4.则yxyuux4u5(3).(4)y(x)xx .导数的几何意义例3(1)(2012辽宁高考)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_(2)已知曲线yx3.求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求斜率为4的曲线的切线方程自主解答(1)y，yx，y|x44，y|x22.点P的坐标为(4,8)，点Q的坐标为(2,2)，在点P处的切线方程为y84(x4)，即y4x8.在点Q处的切线方程为y22(x2)，即y2x2.解得A(1，4)，则A点的纵坐标为4.(2)P(2,4)在
10、曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.设切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx4，x02.切点为(2,4)或，切线方程为y44(x2)或y4(x2)，即4xy40或12x3y200.答案(1)4若将本例(2)中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？解：设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率ky|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx. 点P(2，4)在切线上，42xxf(4,3)，即x3x40.xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0.(x01)
11、(x02)20.解得x01或x02.故所求的切线方程为4xy40或xy20.1求曲线切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)2求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解3已知函数f(x)2 (x1)，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线l分别交x轴和y轴于A，B两点，O为坐标原点(1)求x01时，切线l的方程；(2)若
12、P点为，求AOB的面积解：(1)f(x)，则f(x0)，则曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)的切线方程为yf(x0)(xx0)，即y .所以当x01时，切线l的方程为xy30.(2)当x0时，y；当y0时，xx02.SAOB，SAOB.导数几何意义的应用例4已知a为常数，若曲线yax23xln x存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.自主解答由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a0时，需满足0，解得a0.综上，a.答案A导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)
