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1、高二数学高二数学数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 数系的扩充与复数的引入 二. 本周教学目标： 1. 回顾数系的扩充过程，体会数的概念是逐步发展的，了解引入复数的必要性。 2. 理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件。 3. 掌握复数代数形式的代数表示，能进行复数代数形式的四则运算。 4. 理解复数的几何意义，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 知识要点 一. 复数的定义 1. 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体( ,)abi a bRab 复数所成的集合叫做复数集，用字母 C
2、 表示。 说明 （1）虚数单位 ：（1）它的平方等于1，即；（2）实数可以与它进行四则运i 2 1i 算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。 （2） 与1 的关系： 就是1 的一个平方根，即方程 x21 的一个根，方程ii x21 的另一个根是 。i （3） 的周期性： 4n1i， 4n21， 4n3i， 4n1。 iiiii （4）复数的代数形式： 复数通常用字母 z 表示，即，把复数表示( ,)zabi a bR 成 abi 的形式，叫做复数的代数形式。 （5）复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数，当且仅当( ,)abi a bR b0 时，复数 abi（a、bR）是实
3、数 a；当 b0 时，复数 zabi 叫做虚数；当 a0 且 b0 时，zbi 叫做纯虚数；当且仅当 ab0 时，z 就是实数 0。 （6）复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C。 （7）两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个 复数相等。即：如果 a，b，c，dR，那么 abicdiac，bd。 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就 可以比较大小。只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。 二. 复数的四则运算 1. 复数 z1与 z2的加法法则：z1z2（abi）（cdi）（ac）（bd）i。 复数的加法运算满
4、足交换律： z1z2z2z1。 复数的加法运算满足结合律： （z1z2）z3z1（z2z3） 。 2. 复数 z1与 z2的减法法则：z1z2（abi）（cdi）（ac）（bd）i。 3. 乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设 z1abi，z2cdi（a、b、c、dR）是任意两个复数，那么它们的积（abi） （cdi）（acbd）（bcad）i。 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i2换成1，并且把 实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 乘法运算律： （1）z1（z2z3）（z1z2）z3 （2）z1（z2z3）z1z2z1z3 （3）
5、z1（z2z3）z1z2z1z3 4. 复数除法定义：满足（cdi） （xyi）（abi）的复数 xyi（x，yR）叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：（abi）（cdi）或者 dic bia 三. 复数的几何意义 复平面、实轴、虚轴： 点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 zabi（a、bR）可用点 Z（a，b）表示，这 个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做 虚轴。 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0） ， 它所确定的复数 是 z00i0 表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表
6、示纯虚数。 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点zabi 一一对应 ( , )Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个 点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义。也是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 【典型例题典型例题】 例 1. 实数 m 取什么数值时，复数 zm1（m1）i 是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 分析：分析：因为 mR，所以 m1，m1 都是实数，由复数 zabi 是实数、虚数和纯虚 数的条件可以确定 m 的值。 解：解：（1）当 m10，即 m1 时，
7、复数 z 是实数； （2）当 m10，即 m1 时，复数 z 是虚数； （3）当 m10，且 m10 时，即 m1 时，复数 z 是纯虚数。 例 2. 已知（2x1）iy（3y）i，其中 x，yR，求 x 与 y。 解：解：根据复数相等的定义，得方程组，所以 x，y4 )3(1 ,12 y yx 2 5 例 3. 计算：（56i）（2i）（34i） 解：解：（56i）（2i）（34i）（523）（614） i11i。 例 4. 计算：（12i）（23i）（34i）（45i）（20022003i） （20032004i） 解法一：解法一：原式（123420022003） （23452003200
8、4）i（20031001）（10012004） i10021003i。 解法二：解法二：（12i）（23i）1i， （34i）（45i）1i， （20012002i）（20022003）i1i。 相加得（共有 1001 个式子）： 原式1001（1i）（20032004i） （20031001）（10012004）i10021003i 例 5. 计算（12i） （34i） （2i） 解：解：（12i） （34i） （2i）（112i） （2i）2015i。 例 6. 计算(12 )(34 )ii 解：解：(12 )(34 )ii 12 34 i i 。 22 (12 )(34 )3 8645
9、1012 (34 )(34 )342555 iiiii i ii 例 7. 计算 i iii 43 42)1)(41 ( 解：解： i iii 43 42)1)(41 ( 22 143247(7)(34 ) 343434 iiiii ii 2143282525 1. 2525 iii i 例 8. 已知 z 是虚数，且 z是实数，求证：是纯虚数。 z 1 1 1 z z 证明：证明：设 zabi（a、bR 且 b0） ，于是 zabiabi。 z 1 bia 1 i ba b b ba a a ba bia )( 222222 zR，b0。 z 1 22 ba b b0，a2b21。 22 )
10、 1( ) 1() 1( ) 1( ) 1( 1 1 ba biabia bia bia z z . 1121 20 12 ) 1() 1(1 22 22 i a b a bi aba ibababa b0，a、bR，是纯虚数。i a b 1 【模拟试题模拟试题】 1. 设集合 C复数 ，A实数 ，B纯虚数 ，若全集 SC，则下列结论正确的是 （ ） A. ABCB. AB C. ABD. BBC S C S C S C 2. 复数（2x25x2）（x2x2）i 为虚数，则实数 x 满足（ ） A. xB. x2 或C. x2D. x1 且 x2 2 1 2 1 3. 已知集合 M1，2， （
11、m23m1）（m25m6）i ，集合 P1，3 。 MP3 ，则实数 m 的值为（ ） A. 1B. 1 或 4C. 6D. 6 或1 4. 设 z3i，则等于 z 1 A. 3iB. 3iC. D. 10 1 10 3 ii 10 1 10 3 5. 的值是 aib bia aib bia A. 0 B. iC. iD. 1 6. 已知 z12i，z213i，则复数的虚部为 5 2 1 z z i A. 1B. 1C. iD. i 7. 计算（_。)23()23()23()32iii 8. 计算：（2x3yi）（3x2yi）（y2xi）3xi_（x、yR） 。 9. 计算（12i）（23i）（34i）（20022003i） 。 【试题答案试题答案】 1. D2. D 3. 解析：由题设知 3M，m23m1（m25m6）i3 ，m1，故选 A。 065 313 2 2 mm mm 16 14 mm mm 或 或 4. D5. A6. A 7. 2i 8. （yx）5（yx）i2 9. 解：原式（123420012002）（23420022003）i 10011001i
