《2014届湖北高考数学（理）一轮复习专项训练：5.5《数列的综合应用》（新人教a版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届湖北高考数学（理）一轮复习专项训练：5.5《数列的综合应用》（新人教a版）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.5数列的综合应用(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2012武汉模拟）已知各项不为0的等差数列an满足,数列bn是等比数列，且b7=a7，则b6b8=( )（A）2（B）4（C）8（D）162.2011年11月1日5时58分10秒“神八”顺利升空，若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )(A)10秒钟(B)13秒钟(C)15秒钟(D)20秒钟3.（易错题）已知等比数列an中，各项都是正数，且成等差数列，则=（ ）
2、4.(2012天门模拟)设an是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=( )5.已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1b1，a1、b1N*(nN*)，则数列的前10项的和等于( )（A）65（B）75（C）85（D）956.（2012黄石模拟）已知数列an为等差数列，若-1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的n的最小值为( )(A)11(B)19(C)20(D)21二、填空题（每小题6分，共18分）7.（2012温州模拟）设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数
3、列的前n项和Sn等于_.8.设Sn是数列an的前n项和,若(nN*)是非零常数，则称数列an为“和等比数列”.若数列是首项为2,公比为4的等比数列，则数列bn_（填“是”或“不是”）“和等比数列”.9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出_万元资金进行奖励三、解答题（每小题15分，共30分）10. (预测题)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(nN*）.(1)求数列an的通项公式;(2)记若对任意正整数n,kSSn恒成立，求
4、实数k的最大值.11.（2012咸宁模拟）设数列an(n=1,2,)是等差数列，且公差为d,若数列an中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.(1)若a1=4,d=2，求证：该数列是“封闭数列”.(2)若an=2n-7(nN*),试判断数列an是否是“封闭数列”，为什么？(3)设Sn是数列an的前n项和，若公差d=1,a10，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使若存在，求an的通项公式；若不存在，说明理由.【探究创新】(16分)已知数列an的前n项和为Sn，对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为
5、kn.(1)求数列an的通项公式;(2)若,求数列bn的前n项和Tn.答案解析1.【解析】选D.数列an是等差数列，a3+a11=2a7,由2a3- +2a11=0，得=0,又an0,a7=4,=16.2.【解析】选C.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有即x2+x-240=0.解得x=15或x=-16（舍去）.3.【解析】选C.设公比为q,则q0,依题意可得:2(a3)=a1+2a2,即a3=a1+2a2,则有a1q2=a1+2a1q可得q2=1+2q,解得(舍)，所以故C正确.4.【解析】选A.由条件知，a1a6
6、=a32,2(2+5d)=(2+2d)2,d0,d=,Sn=na1+d=2n+5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得an=a1+n-1,bn=b1+n-1,数列也是等差数列，且前10项和为.【方法技巧】构造等差数列求解在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.（1）由递推公式构造等差数列一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式an+1=2an+32n+1的特点是除以2n+1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列.（2）由前n项和Sn构造等差数列.（3）由并项、拆项构造等差数列.6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“
7、”及“Sn有最大值”如何使用，从而列出关于a1,d的不等式组，求出的取值范围，进而求出使得Sn0的n的最小值.【解析】选C.方法一：由题意知d0,a100,a110,a10+a110,由得.由Sn=0得n=0或Sn0的解集为nN*|故使得Sn0的n的最小值为20.方法二：由题意知d0,a100,a110,a10+a110,由a100知S190,由a110知S210,由a10+a110知S200,故选C.7.【解析】y=nxn-1-(n+1)xn,y|x=2=n2n-1-(n+1)2n=-n2n-1-2n,切线方程为y+2n=(-n2n-1-2n)(x-2),令x=0得y=(n+1)2n，即an
8、=(n+1)2n,Sn=2n+1-2.答案：2n+1-28.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.【解析】数列是首项为2,公比为4的等比数列，所以设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=4n2,所以=4,因此数列bn是“和等比数列”.答案：是9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a1,a2,a10,则则即an=2an-1,因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以答案：2 04610.【解析】(1)3an+1+2Sn=3， 当n2时，3an+2Sn-1=3. -得3an+1-3an+2an=0,(n2),又a1=1,3a2+2
9、a1=3,解得数列an是首项为1，公比为的等比数列.(2)由(1)知,又对任意nN*恒有得.数列1-()n单调递增，为数列中的最小项,必有k,即实数k的最大值为.11.【解析】(1)an=4+(n-1)2=2n+2,对任意的m,nN*,有am+an=(2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2,m+n+1N*于是，令p=m+n+1,则有ap=2p+2an.(2)a1=-5,a2=-3,a1+a2=-8,令an=a1+a2=-8,即2n-7=-8解得n=-,所以数列an不是封闭数列.(3)由an是“封闭数列”，得：对任意m,nN*，必存在pN*使a1+(n-1)+a1+(m-1)=a1+(p
10、-1)成立，于是有a1=p-m-n+1为整数，又a10,a1是正整数.若a1=1,则所以不符合题意，若a1=2,则所以=而所以符合题意，若a1=3,则所以=综上所述，a1=2时存在数列an是“封闭数列”，此时an=n+1(nN*).【探究创新】【解题指南】(1)将点Pn代入函数f(x)后，利用Sn与an的关系，求得an;(2)先求f(x)在点Pn处的斜率kn，代入bn后利用错位相减法求出Tn.【解析】(1)点Pn(n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，Sn=n2+2n(nN*)当n2时，an=Sn-Sn-1=2n+1,当n=1时，a1=S1=3满足上式，所以数列an的通项公式为an=2
11、n+1.(2)由f(x)=x2+2x,求导得f(x)=2x+2.在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn,kn=2n+2,bn=Tn=434+4542+4743+4(2n+1)4n,用错位相减法可求得【变式备选】已知等差数列an满足：an+1an(nN*),a1=1,该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项.(1)分别求数列an,bn的通项公式an,bn.(2)设(nN*),若c(cZ)恒成立，求c的最小值.【解析】(1)设d、q分别为数列an、数列bn的公差与公比.由题意知，a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后得2,2+d,4+2d是等比数列bn的前三项,(2+d)2=2(4+2d)d=2.an+1an,d0.d=2,an=2n-1(nN*).由此可得b1=2,b2=4,q=2,bn=2n(nN*).(2)Tn=当n=1时，当n2时，-，得.(3-)2,3)，满足条件(cZ)恒成立的c的最小整数值为3.
