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1、1.根据下列5个图形中小圆的个数的变化规律,试猜测出第n个图中有个小圆. 【答案】 【解析】 观察小圆的个数的变化规律,猜测第n个图形是由中心向四周发散的n组小圆列组成,其中每组小圆列有n-1个小圆(除中心小圆外), 第n个图形中有n(n个小圆. 2.已知数列的通项公式是若对于N都有成立,则实数k的取值范围是. 【答案】 k-3 【解析】 由即2kn+2,则k-(2n+1)对于N都成立,而代数式-(2n+1)当n=1时取得最大值-3,所以k-3. 3.已知数列满足则数列的通项公式为. 【答案】 【解析】 当n=1时; 当时. 两式相除得. 4.已知则数列中的最小项是第项,最大项是第项. 【答案
2、】 4445 【解析】 当时单调递减,且; 当时单调递减,且. 最小最大. 1.已知数列中N则数列的通项公式. 【答案】 【解析】 , . +(2n-3). 当n=1时适合此式,N2.在数列中,若则该数列的通项公式. 【答案】 【解析】 由条件知即数列是以=4为首项,以2为公比的等比数列,所以.故. 3.设数列的前n项和为N且则的数值是. 【答案】 2 【解析】 方法一:=. . . 方法二:解得. 4.函数f(x)由下表定义:若,则的值为. 【答案】 5 【解析】 由此观察知,是以3为周期的数列. . 5.数列的前n项和是若数列的各项按如下规则排列: . 若存在整数k,使则. 【答案】 【解
3、析】 前20项和为第20项为前21项和为,故故应填. 6.已知数列满足:N且则这个数列的通项公式是. 【答案】 【解析】 时. . . . 经检验,上式对n=1也成立. 7.已知数列满足n(n+1)(n+2),则. 【答案】 3(n+1) 【解析】 令n(n+1)(n+2), 则+(n-n+1). 所以n+2)-(n-1)n(n+1). 从而2)-(n-1)(n+1)=3(n+1). 8.图(1)(2)(3)(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物”福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个”福娃迎迎”,则f(n)=.(答案用数字或n的解析式表示)
4、【答案】 【解析】 f(n)=f(n-1)+4(n-1)(n1), f(n)-f(1)=4(n-1)+即. 9.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列N的前12项,如下表所示. 按如此规律下去,则. 【答案】 1 005 【解析】 n为奇数时故 005. 10.已知数列满足2,N. (1)令证明是等比数列; (2)求的通项公式. (1)【证明】 当时=是以1为首项为公比的等比数列. (2)【解】 由(1)知当时, +=1当n=1时N. 11.已知数列的前n项和为并且满足. (1)求数列的通项公式; (2)令问是否存在正整数m,对一切
5、正整数n,总有若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 【解】 (1)令n=1,由及得, 所以. 又当时,有-得整理得即当n=1时2, 所以数列是首项为2,公差为2的等差数列,于是. (2)由(1)得所以. 故. 令得整理得所以因此,故存在正整数m,对一切正整数n,总有且m=8或m=9. 12.已知数列的前n项和数列的前n项和. (1)求数列与的通项公式; (2)设证明当且仅当时. (1)【解】 . 对于有2(n-1)n=4n. 当n=1时,有综上,的通项公式为. 将n=1代入得故. (求方法一)对于由得所以是以1为首项为公比的等比数列. 所以. (求方法二)对于由得. 当n=1时,有也满足. 所以的通项公式为. (2)【证明】 方法一:由得. 当且仅当时即. 方法二:由得. 当且仅当时即.
