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1、 大学数学实验大学数学实验 实验报告实验报告 线性代数线性代数方程组的数值解法方程组的数值解法、非线性、非线性方程求解方程求解 数学实验 实验五 线性方程组的数值解法和非线性方程求解 1 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5 一、一、 实验目的实验目的 1、学习用 Matlab 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分 析； 2、通过实例学习用线性代数方程组解决简化问题。 二、二、 实验内容实验内容 项目项目一：一： 种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的 种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持
2、不变。种群因雌性 个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。 种群年龄记作 k=1,2,n,当年年龄k的种群数量记作，繁殖率记作（每个雌性个体 1 年的繁殖的数量），自然存活率记作（= 1 ，为 1 年的死亡率），收获量记作， 则来年年龄 k 的种群数量 应该为 = =1 , +1= , (k=1,2,n-1)。要求各个 年龄的种群数量每年维持不变就是要求使得 = , (k=1,2,n-1). (1) 如果, 已知，给定收获量，建立求各个年龄的稳定种群数量的模型（用矩阵、 向量表示）. (2) 设n = 5,1= 2= 5= 0,3= 5,4= 3,1= 4= 0.4,2= 3=
3、 0.6,如要求15为 500,400,200,100,100，求15. (3) 要使15均为 500，如何达到？ 问题问题分析：分析： 该问题属于简单的种群数量增长模型，在一定的条件（存活率，繁殖率等）下为使各年龄 阶段的种群数量保持不变，各个年龄段的种群数量将会满足一定的要求，只要找到种群数量与 各个参量之间的关系，建立起种群数量恒定的方程就可以求解出各年龄阶段的种群数量。 模型建立模型建立： 根据题目中的信息，令 = ，得到方程组如下： 1= =1 = 1 +1= = +1 整理得到： 1 =1 = 0 +1+= 数学实验 实验五 线性方程组的数值解法和非线性方程求解 2 大学数学实验
4、实验报告 | 2014/4/5 2 写成系数矩阵的形式如下： A = 1 123 110 021 1 00 00 000 000 000 00 10 11 令 h = 0, 1,2,3,2, 1 x = , 1,1 则方程组化为矩阵形式：Ax = h，即为所求模型。 解决解决方案：方案： 根据题目中的具体数据，利用matlab 编写程序解该方程组，程序代码如下： clear all; b=0 0 5 3 0; s=0.4 0.6 0.6 0.4; h=0;500;400;200;100; A = -1 b(2) b(3) b(4) b(5) s(1) -1 0 0 0 0 s(2) -1 0
5、0 0 0 s(3) -1 0 0 0 0 s(4) -1 ; x=Ah 运行得到结果如下： 1 2 3 4 5 8481 2892 1335 601 141 即为满足要求，种群数量应维持以上结果。 对于第三个问题，h=0 500 500 500 500; 首先尝试改变 h 的值求解方程组，运行得到的结果为： 1 2 3 4 5 10981 3892 1835 601 -259 对于 为负值显然不合理，该解没有意义，所以为使 h(收获量)满足要求，应修改s(存活率)和 b(繁殖率)的值，而繁殖率对一个物种来说很难人为改变，而存活率则要可控的多，故该问题中 数学实验 实验五 线性方程组的数值解法
6、和非线性方程求解 3 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5 将试图通过修改存活率来使收获量满足要求，且该问题中存在隐含条件所有年龄段数量都应大 于 500。 为了较快的寻找到合适的s值，首先利用 matlab编写程序进行运算观察 s的变化对不同年龄阶 段物种数量的影响情况，程序如下： clear all; h=500;500;500;500;500; b=0 0 5 3 0; for i=0:0.01:1; ii=0:0.01:1; k=fix(100*i+1); s=i 0.6 0.6 0.4; A = -1 b(2) b(3) b(4) b(5) s(1) -1 0 0 0 0 s
7、(2) -1 0 0 0 0 s(3) -1 0 0 0 0 s(4) -1 ; x=Ah; x5(1,k)=x(1); x5(2,k)=x(2); x5(3,k)=x(3); x5(4,k)=x(4); x5(5,k)=x(5); end figure; hold on; plot(ii,x5(1,:),y); plot(ii,x5(2,:),r); plot(ii,x5(3,:),g); plot(ii,x5(4,:),b); plot(ii,x5(5,:),m); hold on; line(0 1,0 0,color,k); line(0 1,500 500,color,k); gri
8、d; 数学实验 实验五 线性方程组的数值解法和非线性方程求解 4 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5 4 分别控制 s 中的三个量改变另一个量得到的运行结果如下： 数学实验 实验五 线性方程组的数值解法和非线性方程求解 5 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5 数学实验 实验五 线性方程组的数值解法和非线性方程求解 6 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5 6 可能由于该方程的性质或者是matlab 的算法问题，在0.29和 0.58 两个点处均出现了异常的 波动，而实际上这应该是不存在的，故不予考虑，但图像上其他数值处的突变应该予以考虑。 分析数据也主要是对突变后的
9、数据进行分析，因为突变前 x的值都是负值，没有实际意义。从 图像上可以直观地看出，x(1)和 x(2)对 s(1)和 s(2)的变化非常敏感，对s(3)的变化敏感性一般， 而 s(4)仅对 x(5)产生影响，x(4)与 x(5)对 s的变化并不敏感。虽然这还不能最终确定 s的各个分 量的值，但对寻找合理的解提供了方向。 通过几次尝试，找到了比较合理的解为： s=0.36 0.58 0.98 0.95; 对应的 x 的值为： 画出数量关系曲线如图： 尽管这组数据满足要求，但也显得不是很合理可以看出 x(1)到 x(5)的衰减速度非常快，这 显然不太符合实际情况，可能这是由于不合理的 h值导致的，
10、所以控制好收获量才能使种群数 量趋于合理，做到效益的最大化。 1 2 3 4 5 11814 3753 1676 1143 586 数学实验 实验五 线性方程组的数值解法和非线性方程求解 7 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5 项项目目二：二： 给定 4 种物质对应的参数，和相互作用矩阵Q如下： 1= 18.607,2= 15.841,3= 20.443,4= 19.293 ; 1= 2643.31,2= 2755.64,3= 4628.96,4= 4117.07 ; 1= 239.73,2= 219.16,3= 252.64,4= 227.44 ; = 1.00.192 0.316
11、1.0 2.1691.611 0.4770.524 0.3770.360 0.5240.282 1.00.296 2.0651.0 ; 在压强 P=760mmHg下，为了形成均相共沸混合物，温度和组分分别是多少？请尽量找出所有 可能的解。 问题分析问题分析及模型建立：及模型建立： 此题和书中的 117 页例题十分相似，这里采用书中的分析方法： 所谓的共沸混合物，使之有两种或以上物质组成的液体混合物，当在某种压力下背蒸馏后或局 部气化时，在气体状态下和在液体状态下保持相同的组分。设该混合物由n 个可能的祖分组 成，组分 i所占的比例为，则： （1）= 1， =1 0 均相共沸混合物一概满足问题条
12、件，即公沸混合物的每个组分在气体状态下和在液体状态下具 有相同的化学势，在压强P不大的条件下，这个条件可以表示为： （2）P = ，i= 1,n. 上式中是组分的饱和汽相压强，与温度T有关，可以根据如下表达式确定： （3）ln= + 其中，为常数。（2）式中是组分 i的液相活度系数，可以根据如下的表达式确定： （4）ln= 1ln( ) ( =1 ) =1 ，i = 1,n. 其中表示组分 i和组分 j的交互作用参数，构成交互作用的矩阵 Q，Q不一定是对称阵。 对（2）式两边取对数，并将（3），（4）式代入： （5） + +ln( )+ ( =1 ) =1 1 + = 0，i = 1,n. 只有当组分 i参与到该共沸混合物中时才需要满足（5），所以将（5）式改写为 + +ln( )+( =1 ) =1 1 + = 0，i = 1,n. 数学实验 实验五 线性方程组的数值解法和非线性方程
