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1、1,第三章 模糊关系与模糊聚类分析 小结,3.1 模糊关系及其运算; 3.2 模糊等价关系及其性质; 3.4 基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析.,2,3.1 模糊关系及其运算 1, 设U, V 为两个论域, 若RF(UV),则称R为U到V的一个模糊关系. 对(u, v)UV , 称R(u, v)为u对v具有模糊关系R的相关程度. 特别地 (1) 称RF(UU) 为U上的模糊关系; (2) 若(u, v)UU,有 则称R为U上的恒等关系 , 这时记R = I ; (3) 若(u, v)UV, 有R(u, v)=0,则称 R为U到V的零关系 ,这时记R = 0 ; (4) 若(u, v)UV,有R(
2、u, v)=1, 则称R为全关系 ,这时记R = E .,目 录,3,2, 设U=u1,u2, , um, V=v1,v2, , vn, RF(UV), 则R可以用一个mn矩阵来表示,即R=(rij)mn ,其中 rij=R (ui, vj)(i=1,2,m ; j=1,2,n), 由于R (ui, vj) 0,1,故称R=(rij)mn为模糊矩阵 . 由于0,1 0,1, 故模糊矩阵是Boole矩阵的推广.,4,3, 设R, Q 为U到V的两个模糊关系,则 (1) 称RQ为R与Q的并,其相关函数为 (RQ) (u, v) =R(u, v) Q(u, v) , (u, v)UV . (2) 称
3、 RQ为R与Q的交,其相关函数为 (RQ) (u, v) =R(u, v) Q(u, v) , (u, v)UV . (3) 称R 为R的补,其相关函数为 R (u, v)=1R (u, v) , (u, v)UV .,目 录,5,(4) 称RTF(VU)为R的转置,其相关函数为 RT(v,u)= R(u, v) , (u, v)UV . (5) 对0,1,称 R = (u, v)UV | R(u, v) . 为R的 截关系 ;而称 RS = (u, v)UV | R(u, v) . 为R的 强截关系 . (6) 对0,1,称R为数与模糊关系R的模糊截积关系,其相关函数为 (R) (u, v)
4、 = R(u, v) , (u, v)UV .,6,4,定理3.1.1 设R,QF(UV), 则有 (1) (RT)T= R ; (2) (RQ)T= RTQT ; (RQ)T= RTQT ; (3) RQ RT QT ; (4) 0,1, (RT) = (R)T , (RT) S = (R S)T ; (5) (RT) = (R )T .,目 录,7,5, 设RF(UV), QF(VW), 则R, Q的合成,RQ F(UW), 定义为 RQ (u, w) =vV R (u, v) Q (v, w) . (1) 若RF(UU),则记R0=I , Rn=Rn-1 R (n=1,2,); (2)
5、若R=(rij)mn , Q=(qjk)nl,则RQ =(pik)ml , 其中 即pik为R中第i行的元素与Q中第j列的元素对应取小后再取大而得到.,目 录,8,6, 定理3.1.2 设P, Q, R为三个模糊关系,且可进行合成运算,则有 (1) 结合律: R ( Q P ) = ( R Q ) P (2) 分配律: ( RQ ) P = ( R P ) ( QP ) , P( RQ ) = (P R )(P Q ) ; (3) 单调性: RQ R P QP ,P R P Q, (4) ( RQ ) P ( R P ) ( QP ) , P( R Q ) (P R ) (P Q ) .,目
6、录,9,7,定理3.1.3 设RF(UV), QF(VW),则 (1) (R Q ) T= Q T R T ; (2) 若RF(UU),则(R n) T= (R T ) n , n N . 8,定理3.1.4 设RF(UV), QF(VW), 0,1, 则有 (1) ( R Q )S = RS QS ; (2) R Q ( R Q ) (3) 若V为有限论域,则( R Q ) = R Q. 9,定理3.1.5 设RF(UV), QF(VW), 则 R Q = 0,1 (R Q).,10,3.2 模糊等价关系及其性质 1, 设RF(UU), 则 (1) R称为自反的,如果I R ,即uU, R(
7、u, u) =1; (2) 称包含R的最小的自反模糊关系为R的自反闭包,记作r(R). 2, 定理3.2.1 设RF(UU),则下列结论成立; (1)若R是自反的,则nN, Rn Rn+1 且Rn也是自反的; (2) R是自反的当且仅当0,1, R 是自反的; (3) r(R)= R I .,目 录,11,3, 设RF(UU),则 (1) R称为对称的,如果RT= R ; (2) 称包含R的最小的对称模糊关系为R的对称闭包,记作S(R). 4,定理3.2.2设R,QF(UU),则下列结论成立: (1) R是对称的当且仅当 0,1, R 是对称的 (2)若R是对称的,则nN, Rn也是对称的 (
8、3)若R,Q是对称的,则 R Q为对称的当且仅当R Q = Q R (4) S(R)= RRT,12,5, 设RF(UU),则 (1) R称为传递的,如果R R R； (2) 称包含R的最小的传递模糊关系为R的传递闭包,记作t(R). 6, 定理3.2.3 设RF(UU), 则下列结论成立: (1) R为传递的当且仅当0,1, R 为传递的； (2) 若R为传递的,则nN, Rn也为传递的; (3),13,7, 定理3.2.4 设U=u1,u2, , un, RF(UU), 则有 (1) (2) 若R是自反的,则mn,有t(R) = Rm,目 录,14,8, 快速求m的方法-平方自合成法 :
9、第一步: 若R R = R2 R ,则t(R)=R ;否则,进行如下第二步. 第二步:若R2 R2 = R4 R2 ,则t(R)=R2 ;否则,进行如下第三步. 第三步:若R4 R4 = R8 R4 ,则t(R)=R4 ;否则,进行如下一步,如此继续下去,必有自然数k ,使2k-1 n 2k且 R R2 R4 R2k = t(R) 即对于n阶自反模糊矩阵,至多只需进行k=log2n+1步平方合成运算就可达到t(R),因此,可取 m= 2k , k= log2n +1 这里log2n表示不超过log2n的最大整数.,15,9, 定理3.2.5 设I, R, QF(UU), 则有 (1) t(I)
10、=I ; (2) R Q t(R) = t(Q) (3) (t(R)T= t(RT) (4) RT=R (t(R)T= t(R),16,10, 设RF(UU), 则 (1) R称为相似的,如果R是自反和对称的; (2) 称包含R的最小的相似模糊关系为相似闭包,记作a(R). 11, 定理3.2.6 设RF(UU),则有 (1) R为相似的当且仅当0,1, R 为相似的; (2)若R为相似的,则nN, Rn也是相似的.,目 录,17,12, 设RF(UU), 则 (1) R称为等价的,如果R是自反、对称和传递的。 (2) 称包含R的最小的模糊等价关系为R的等价闭包,记作e(R). 13, 定理3
11、.2.7 设RF(UU),则 (1) R为等价的当且仅当 0,1, R 为等价的; (2) 若R为等价的,则nN, Rn也是等价的; (3) R为等价的当且仅当R为传递的模糊相似关系; (4) 若R为模糊相似关系,则t(R) = e(R),目 录,18,3.4 基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析 设被分类对象的集合为 U=u1,u2, , un, 每一个对象ui有m个特性指标(即反映对象特征的主要指标),并记 ui =(ui1,ui2, , uim) , i =1,2,n 其中uij表示第i个对象的第j个特性指标,则n个对象的所有特性指标构成一个矩阵,记作 称U*为U的特性指标矩阵.,目 录,19
12、,第一步: 数据规格化 常用的数据规格化方法有如下几种: 数据标准化, 均值规格化, 中心规格化、最大规格化、极差规格化、对数规格化等(参见教材P96) 第二步: 构造模糊相似矩阵 常用方法有. 1.相似系数法(包括:数量积法、夹角余弦法、相关系数法、指数相似系数法、非参数相似程度法等) 2.距离法 设d(ui, uj)表示对象ui和uj的距离,则d(ui, uj)越大, rij就越小,而d(ui, uj)越小, rij就越大.一般地,可取 rij=1c(d(ui, uj) 其中c和是两个适当选取的正数,使rij0,1.,目 录,20,在实际应用中,常采用如下距离来确定rij,目 录,21,3
13、.贴近度法 当对象ui=(ui1, ui2, uim)为模糊向量(即uik0,1. )时, ui与uj的相似程度rij可由如下方法确定 (1)最大最小法 (2)算术平均最小法 (3)几何平均最小法 4.主观评定法,目 录,22,第三步: 模糊分类 四种常用的模糊分类方法. 1.模糊传递闭包法 (1)利用平方自合成方法求 (2)对t(R)中的元素从大到小进行排序,设为 1=1 2 m (3)对= i (i =1,2,m),求出t(R)的-截矩阵 然后按t(R)进行分类,所得到的分类就是在水平上的等价分类,具体聚类原则为: 若 ,则在水平上将对象ui和对象uj归为同一类. (4)画动态聚类图,目
14、录,23,2.直接聚类法 (1)将模糊相似矩阵中的所有不同的元素从大到小排序,设为 1=1 2 m (2)选取= k (k=1,2,m) 直接在R上找出k水平上的相似类.并进行归并,即得到k水平上的等价分类. 寻找相似类和归并的原则:若rijk,则将ui与uj分为同一类,设B1,B2是k水平上的两个类,若B1B2 ,则称它们为相似的,将所有相似类的类合成一类,最后得到的分类就是k水平上的等价分类. (3)画动态聚类图,24,3.最大树法 (1)以所有被分类的对象为顶点; (2)当rij 0时,将顶点ui与顶点uj用一条线连接起来,并在线段上注明相关程度rij,具体画法如下: 首先画出顶点集中的
15、某个顶点ui,然后按rij从大到小的顺序依次连边,并在线段上注明相关程度rij,在连边时要求不产生回路,不出现相交线,直到所有对象连通为止.这样就得到一棵最大树. (3)适当选取0,1,砍去线段上值小于的连线,剩下互相连通的对象归为同一类.这样就可得到在水平上的一种等价分类. (4)画出动态聚类图,目 录,25,4.编网法 (1)适当选取0,1,求出截矩阵R,且去掉R的主对角线右上半部分的所有元素; (2)将主对角线上的”1”对应地用其对象ui的标号i来代替 (3)将主对角线左下方的”0”去掉,而用” ”代替”1”,而称所在的位置为结点; (4)用竖直线与横直线将结点与对角线上的序号连接,即编网.通过如此打结而连接的对象归为同一类,从而是了等
