学而思奥数-抽屉原理1

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1、 杯赛难点之杯赛难点之 三大原理三大原理 抽屉原理抽屉原理基本题型基本题型 - 1 - 杯赛重难点之杯赛重难点之三大原理三大原理（一一） 【版块一】抽屉原理基本题型 【知识点拨】知识点拨】 ： 抽屉原理是三大原理中最抽象的一个原理，但是纵观近抽屉原理是三大原理中最抽象的一个原理，但是纵观近 5 5 年考试中出现的抽屉原理题目，大多是比较基本的题年考试中出现的抽屉原理题目，大多是比较基本的题 目，几乎没有用到复杂的构造抽屉，因此我们复习抽屉原理的时候，不追求很难的题目，但求把基本的题目做目，几乎没有用到复杂的构造抽屉，因此我们复习抽屉原理的时候，不追求很难的题目，但求把基本的题目做 对。对。 抽

2、屉原理其实和行程问题一样，也有属于自己的三要素。行程问题中只要找到的了路程、速度、时间三者对应抽屉原理其实和行程问题一样，也有属于自己的三要素。行程问题中只要找到的了路程、速度、时间三者对应 的关系，就找到了解题的钥匙，而抽屉原理的三要素，我们称之为，苹果、抽屉以及至少数。我们需要在每到的关系，就找到了解题的钥匙，而抽屉原理的三要素，我们称之为，苹果、抽屉以及至少数。我们需要在每到 题目中找到这三个量，只要能够准确判断出三个量，相信抽屉原理将不会再难倒你。题目中找到这三个量，只要能够准确判断出三个量，相信抽屉原理将不会再难倒你。 一一、抽屉原理的定义、抽屉原理的定义 （1 1）举例）举例 桌上

3、有十个桌上有十个苹果苹果，要把这十个苹果放到九个，要把这十个苹果放到九个抽屉抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有 的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2 2）定义）定义 一般情况下，把一般情况下，把 n n1 1 或多于或多于 n n1 1 个苹果放到个苹果放到 n n 个抽屉里，其中必定至少有一个个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉抽屉里至少有两个苹果。我们里至少有两个苹果。我们 称这种现象为抽屉原理。称这

4、种现象为抽屉原理。 二、二、抽屉原理的基本公式抽屉原理的基本公式 判断三个量判断三个量 苹果：多苹果：多 具体具体 抽屉：少抽屉：少 类别类别 备注：谁相同者谁抽屉备注：谁相同者谁抽屉 类型一：求至少数或者证明至少数类型一：求至少数或者证明至少数 均分思想：苹果抽屉均分思想：苹果抽屉= =商余数商余数 至少数至少数= =商商+1+1 类型二：求苹果类型二：求苹果 苹果至少苹果至少= =（至少数（至少数- -1 1）抽屉）抽屉+1+1 类型三：求抽屉（这个考察的非常少，了解一下）类型三：求抽屉（这个考察的非常少，了解一下） 抽屉至多抽屉至多= =（苹果（苹果- -1 1）（至少数）（至少数- -

5、1 1） 备注：三个类型中，求至少数和苹果数，题目中都会出现“至少” ，唯独求抽屉的时候会出现“至多” 。备注：三个类型中，求至少数和苹果数，题目中都会出现“至少” ，唯独求抽屉的时候会出现“至多” 。 杯赛难点之杯赛难点之 三大原理三大原理 抽屉原理抽屉原理基本题型基本题型 - 2 - 【精讲专区】 例例 1 1：教室里有教室里有 5 5 名学生正在做作业，名学生正在做作业，现在现在只有数学、英语、语文、地理四科作业只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：试说明：这这 5 5 名学生中，至名学生中，至 少有两个人在做同一科作业少有两个人在做同一科作业 【解析】苹果：【解析】苹果：5 5

6、名同学，抽屉：名同学，抽屉：4 4 个科目，至少数：个科目，至少数：2 2 5 54=14=11 1 1+1=21+1=2（个）（个） 根据抽屉原理，这根据抽屉原理，这 5 5 人至少有两个在做同一课业。人至少有两个在做同一课业。 备注：当题目要求说明或者证明的时候，我们只需计算出至少数即可。备注：当题目要求说明或者证明的时候，我们只需计算出至少数即可。 例例 2 2：把把 125125 本书分给五班的学生，如果其中至少有一个人分到至少本书分给五班的学生，如果其中至少有一个人分到至少 4 4 本书，那么，这个班最多有多少人？本书，那么，这个班最多有多少人？ 【解析】苹果：【解析】苹果：1251

7、25 本书本书 抽屉：？抽屉：？ 至少数：至少数：4 4 人人 抽屉最多为： （抽屉最多为： （125125- -1 1）（）（4 4- -1 1）=124=1243=413=411 1 所以抽屉最多有所以抽屉最多有 4141 个，即这个班做多有个，即这个班做多有 4141 人。人。 例例 3 3：班上班上有有 5050 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两 本书？本书？ 【解析】苹果：？【解析】苹果：？ 抽屉抽屉:50:50 个小朋友个小朋友 至少数：至少数：2 2

8、 苹果至少： （苹果至少： （2 2- -1 1）50+1=5150+1=51（本）（本） 因此老师至少拿因此老师至少拿 5151 本书，就能保证。本书，就能保证。 例例 4 4：篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有：篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有 多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？ 【解析】苹果：？抽屉：相同的拿法【解析】苹果：？抽屉：相同的拿法 至少数：至少数：2 2 先算抽屉：如果水果相同：先算抽屉：如果水

9、果相同：4 4 种拿法种拿法 如果水果不同：如果水果不同：4 43 32=62=6 种拿法种拿法 因此抽屉因此抽屉=10=10 苹果苹果= =（2 2- -1 1）10+1=1110+1=11（个）（个） 因此至少有因此至少有 1111 个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的 【精练专区】 【题型一】 ：求至少数 练习 1：6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子对吗？ 杯赛难点之杯赛难点之 三大原理三大原理 抽屉原理抽屉原理基本题型基本题型 - 3 - 练习 2：把 9 条金鱼任意放在 8 个鱼缸里面，请你说

10、明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼 练习 3 ：数学兴趣小组有 13 个学生，请你说明：在这 13 个同学中，至少有两个同学属相一样 练习 4：光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？ 练习 5：用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同 练习 6：向阳小学有 730 个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 练习 7 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩 练习 8：五年级数学小组共有 20 名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们 的朋友人数一样多 练习 9：在任意的四个自然

11、数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？ 练习 10：证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数 杯赛难点之杯赛难点之 三大原理三大原理 抽屉原理抽屉原理基本题型基本题型 - 4 - 【题型二】 ：求抽屉 练习 1：把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？ 练习 2：某次选拔考试，共有 1123 名同学参加，小明说： “至少有 10 名同学来自同一个学校 ”如果他的说法是 正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？ 练习 3：100 个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于 12 个. 【题型三】 ：求苹果

12、练习 1：班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于 两本书？ 练习 2：有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子请问：至少需要有几只鸽子？ 练习 3：三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借 两本书？ 练习 4： 海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数， 并且在140厘米到150厘米之间 （包括140厘米到150厘米） ， 那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同？ 练习 5：一次数学竞赛出了 10 道选择题，评分标准为：基础分 10 分，每道题答对得 3 分，答错

13、扣 1 分，不答不 得分。问：要保证至少有 4 人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 练习 6： （第十届小数报数学竞赛决赛）一次测验共有 10 道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得 5 分；回答不完全正确，得 3 分，回答完全错误或不回答，得 0 分至少_人参加这次测验，才能保证至少有 3 人得得分相同 杯赛难点之杯赛难点之 三大原理三大原理 抽屉原理抽屉原理基本题型基本题型 - 5 - 【答案专区】 【题型一】 1、 【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子这只鸽子可以任意飞进其中的 一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子所以这句话是正确的 利用刚刚

14、学习过的抽屉原理来解释这个问题， 把鸽笼看作 “抽屉” ， 把鸽子看作 “苹果” ，6511 ， 1 12 （只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两 个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子 2、 【解析】在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任意 一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼 3、 【解析】属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉” ，13个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉” ，根据抽 屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样 4、 【解析】一年

15、最多有366天，把366天看作366个“抽屉” ，将367名学生看作367个“苹果” 这样，把367 个 苹果放进366个抽屉里， 至少有一个抽屉里不止放一个苹果 这就说明， 至少有2名同学的生日相同 5、 【解析】五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中的任 意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相 同的颜色 也可以把五种颜色作为5个“抽屉” ，六个面作为六个物品，当把六个面随意放入五个抽 屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同 6、 【解析】一年最多有

16、 366 天，可看做 366 个抽屉，730 个学生看做 730 个苹果因为7303661364，所 以，至少有 112（个）学生的生日是同一天 7、 【解析】方法一： 情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的； 情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的； 情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的； 情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的所以， 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的； 方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同