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1、上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至第12题，每题5分，共54分）只要求直接填写结果，否则一律得零分1、二项式的展开式中，项的系数为 2、若，用列举法表示 3、已知、是实系数一元二次方程的两个根，则 4、某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有 篇5、设，行列式中第3行第2列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则 6、国际
2、数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如右图，包含着许多数学元素主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则 （其中为虚数单位）7、在三棱锥中，平面，若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为 8、某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，
3、则这6人来自不同的班级的概率为 9、已知是周期为的函数，且，则方程的解集为 10、若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函教的图像交于另外两点、，是坐标原点，则 11、已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”以下集合中，不存在“可行数对”的是 ； ； 12、对任意，函数满足：，数列的前15项和，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则 二、选择题（每题5分，共20分）13、，则角所在的象限是：（ ）A第二或第三象限 B第一或第四象限 C第三或第四象限 D第一或第二象限14、如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（ ）A B
4、C D不能确定15、已知，则函数的大致图像是（ ）16、已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（ ）A B C D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分函数（，）部分图像如图所示（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径（1）若圆柱的体积为，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为
5、2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球
6、门的最佳射门点的轨迹20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分已知曲线的方程为（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中证明：数列为
7、等比数列；求集合参考答案一、填空题1、 2、 3、5 4、18 5、2 6、 7、 8、9、 10、2 11、 12、二、选择题13、D 14、C 15、B 16、D三、解答题17、（1）；（2）在区间上的最大值为，最小值为18、（1）异面直线与所成的角为；（2）两点在球上的球面距离为19、（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，当取得最大值时，最大，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分20、（1）当时，两边平方并化简得，曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2
8、）将代入，消去，得，由题意，即，解得或（舍），此时，设，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，解得，不满足，曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，即，用替换中的，可得，21、（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）设数列的前项和为，由（1）及 得 上两式相减，得到 所以 又，所以，满足上式所以 当时， 两式相减，得， 所以 所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列由，得，即，令，显然，此时变为，即，当时，不符题意；当时，符合题意，此时；当时，不符题意；当时，不符题意；当时，不符题意；下证当，时，方程：，显然，从而当，时，方程没有正整数解综上所述：9
