《高考数学命题热点名师解密专题：快速解决圆锥曲线的方程与性质问题（理）含答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学命题热点名师解密专题：快速解决圆锥曲线的方程与性质问题（理）含答案解析（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 专题专题 2727 快速解决圆锥曲线的方程与性质问题快速解决圆锥曲线的方程与性质问题 一一 【学习目标学习目标】 1.掌握圆锥曲线的定义； 2掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。 一一 【知识点总结知识点总结】 1.椭圆定义：平面内与两个定点 12 ,F F的距离的和等于常数(大于 12 ,F F之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这 两个定点 12 ,F F叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距 2椭圆的标准方程 (1)，焦点，其中 (2)，焦点，其中 3椭圆的几何性质以为例 (1)范围： (2
2、)对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：(0,0)O (3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长 12 | 2A Aa，短轴长 12 | 2B Bb，焦距 12 | 2FFc. (4)离心率越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆 (5) , ,a b c的关系： 222 cab. 4双曲线的定义： 平面内与两个定点 12 ,F F的距离的差的绝对值等于常数(小于 12 ,F F之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两 个定点 12 ,F F叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距 5双曲线的标准方程 (1)，焦点，其中 (2)，焦点，其中 2 6双曲线的几何性质以为例 (1)范围： (2)对称性：对称轴：x轴
3、，y轴；对称中心：(0,0)O (3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长 12 | 2A Aa，虚轴长 12 | 2B Bb，焦距 12 | 2FFc. (4)离心率,1 c ee a (5) 渐近线方程 b yx a . 7抛物线的定义： 练习练习 3如图，双曲线如图，双曲线的左、右焦点分别是的左、右焦点分别是， 是双曲线右支上一点，是双曲线右支上一点，与圆与圆相相 切于点切于点 ，是是的中点，则的中点，则（ ） A1 1 B2 2 C D 【答案答案】A 【解析解析】因为是的中点， 是的中点，所以； 3 又，所以有，所以，所以 ， 由双曲线的定义知：，所以. 故选 A （三）抛物线的性质
4、（三）抛物线的性质 例例 3已知已知 是抛物线是抛物线的焦点，过点的焦点，过点的直线的直线 与抛物线与抛物线 交于交于 ， 两点，两点， 为线段为线段的中的中 点，若点，若，则直线，则直线 的斜率为的斜率为( ( ) ) A3 3 B1 1 C2 2 D 【答案答案】B 【解析解析】由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物 线方程为.设，则，两式相减并化简得， 即直线 的斜率为 ，故选 B. 练习练习 1如图点如图点 是抛物线是抛物线的焦点，点的焦点，点 ， 分别在抛物线分别在抛物线及圆及圆的实线部分上运的实线部分上运 动，且动，且始终平行于始终平行于 轴，则轴，则的周长的取值范围是（的周长的
5、取值范围是（ ） A B C D 【答案答案】C 【解析解析】抛物线的准线，焦点， 由抛物线定义可得， 圆的圆心为，半径为 4， 的周长， 由抛物线及圆可得交点的横坐标为 2， 4 ，故选 C. 练习练习 2已知已知P P为抛物线为抛物线y y2 24 4x x上一上一动点，记点动点，记点P P到到y y轴的距离为轴的距离为d d，对于定点，对于定点A A(4,5)(4,5)，则，则| |PAPA| |d d的最小的最小 值为值为( ( ) ) A4 4 B C1 1 D1 1 【答案答案】D 【解析解析】抛物线的焦点，准线 如图所示，过点 作交 轴于点，垂足为 ，则， ，故选 D 练习练习
6、3如图，已知如图，已知 ， 分别为抛物线分别为抛物线的顶点和焦点，斜率为的顶点和焦点，斜率为 的直线的直线 经过点经过点 与抛物线与抛物线 交于交于 ， 两点，连接两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于点并延长分别交抛物线的准线于点 ， ，则，则（ ） A B C D 【答案答案】B 【解析解析】由抛物线的几何性质可知：， 设，由， 知， 5 联立直线 与抛物线的方程消 有， 由韦达定理知， 所以，故选 B. （四）椭圆与双曲线（四）椭圆与双曲线 例例 4若椭圆若椭圆与双曲线与双曲线有公共的焦点有公共的焦点，点，点 是两条曲是两条曲 线的交点，线的交点，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，双曲线的
7、离心率为，双曲线的离心率为，且，且，则，则（ ） A B C D 【答案答案】B 【解析解析】不妨设 P 在第一象限，再设 PF1s，PF2t，由椭圆的定义可得 s+t2a1， 由双曲线的定义可得 st2a2，解得 sa1+a2，ta1a2，由F1PF2， 可得 ，由 e1e21，即，得：，解得：（舍） ，或， 即故选：B 练习练习 1如图，离心率为如图，离心率为 2 2 的双曲线的双曲线与椭圆与椭圆有共同的焦点有共同的焦点，分别是分别是， 在第一、三象限的交点，若四边形在第一、三象限的交点，若四边形是矩形，则椭圆是矩形，则椭圆的离心率为（的离心率为（ ） A B C D 【答案答案】D 【解
8、析解析】设|PF1|x，|PF2|y，点 P 为椭圆上的点， 6 |PF1|+|PF2|2a=x+y；又四边形 PF1QF2为矩形，即 x2+y2（2c）2=4， 设双曲线 C1的实轴长为 2m，焦距为 2c，且=2 则 2m|PF1|PF2|x-y， 2+2可得 x2+y22=4将代入中, 椭圆 C2的离心率 e=，故选：D 练习练习 2已知已知 为椭圆为椭圆的左顶点的左顶点,该椭圆与双曲线该椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为的渐近线在第一象限内的交点为 ，若，若 直线直线垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为 A B C D
9、【答案答案】D 练练习习 3已知已知是椭圆和双曲线的公共焦点，点是椭圆和双曲线的公共焦点，点 是它们的一个公共点，且是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线，设椭圆和双曲线 的离心率分别为的离心率分别为，则，则的最大值为的最大值为( ) A B C D 【答案答案】D 【解析解析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为 ， 由题意，设点 P 是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且， 则根据椭圆和双曲线的定义可得 ，则， 又由， 在中，由正弦定理得， 即，故选 D. 7 （五）圆锥曲线与内切圆（五）圆锥曲线与内切圆 例例 5已知椭圆：已知椭圆：的左右焦点分别为的左右焦点分别为， 为椭圆上的一点
10、为椭圆上的一点与椭圆交于与椭圆交于 。若。若 的内切圆与线段的内切圆与线段在其中点处相切，与在其中点处相切，与切于切于，则椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为( ( ) ) A B C D 【答案答案】D 【解析解析】 结合题意可知结合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质 ,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的 性质,可得,由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得 到,解得,故选 D. 练习练习 1过双曲线过双曲线的右支上一点的右支上一点 ，分别向圆，分别向圆：和圆和圆：作切线，作切线， 切点分别为切点分别为， ，则，则的最小值为（的最小值为（ ） A B C D 【答案答
11、案】D 【解析解析】圆 C1：（x+4）2+y24 的圆心为（4，0） ，半径为 r12； 圆 C2：（x4）2+y21 的圆心为（4，0） ，半径为 r21， 设双曲线 x21 的左右焦点为 F1（4，0） ，F2（4，0） ， 8 连接 PF1，PF2，F1M，F2N，可得 |PM|2|PN|2（|PF1|2r12）（|PF2|2r22） （|PF1|24）（|PF2|21） |PF1|2|PF2|23（|PF1|PF2|） （|PF1|+|PF2|）3 2a（|PF1|+|PF2|32（|PF1|+|PF2|）322c328313 当且仅当 P 为右顶点时，取得等号， 即最小值 13 故
12、选：D 练习练习 2已知双曲线已知双曲线的左右焦点分别为的左右焦点分别为，实轴长为，实轴长为 6 6，渐近线方程为，渐近线方程为， 动点动点在双曲线左支上，点在双曲线左支上，点 为圆为圆上一点，则上一点，则的最小值为的最小值为 A8 B9 C10 D11 【答案答案】B 【解析解析】由题意可得 2a6，即 a3， 渐近线方程为 y x，即有，即 b1，可得双曲线方程为y21， 焦点为 F1（，0） ，F2， （，0） ，由双曲线的定义可得|MF2|2a+|MF1|6+|MF1|， 由圆 E：x2+（y）21 可得 E（0，） ，半径 r1， |MN|+|MF2|6+|MN|+|MF1|， 连接
13、 EF1，交双曲线于 M，交圆于 N， 可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|4， 则则|MN|+|MF2|的最小值为 6+419 故选：B 9 （六）圆锥曲线与圆（六）圆锥曲线与圆 例例 1已知抛物线已知抛物线，圆，圆，过点，过点 作直线作直线 ，自上而下顺次与上述两曲线交于点，自上而下顺次与上述两曲线交于点 （如图所示）（如图所示） ，则，则的值正确的是的值正确的是 ( ( ) ) A等于等于 B最小值是最小值是 C等于等于 D最大值是最大值是 【答案答案】C 【解析解析】当直线 斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程和圆的方程，求得的纵坐标分别为 ，故.当直线 的斜率不存在
14、时，设直线的方程为，代入抛物线方程 并化简得，.根据抛物线的定义以及圆的半径可知 .故选 C. 练习练习 2已知椭圆已知椭圆，与双曲线，与双曲线具有相同焦点具有相同焦点 F1、F2，且在第一，且在第一 象限交于点象限交于点 P，椭圆与双曲线的离心率分别为，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e2，若，若F1PF2 ，则，则的最小值是的最小值是 A B2 C D 【答案答案】A 【解析解析】根据题意，可知， 解得， 10 根据余弦定理，可知， 整理得， 所以， 故选 A. 练习练习 3设椭圆设椭圆的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F F1 1,F,F2 2,P,P 是椭圆上一点是椭圆上一点,|PF,|PF1 1|=|PF|=|PF2 2| | , , ,则椭圆离心率的取值范围为则椭圆离心率的取值范围为( ( ) ) A B C D 【答案答案】B 【解析解析】设 F1（-c，0） ，F2（c，0） ，由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，可设|PF2|=t，可得|PF1|=t，即有（+1） t=2a 由F1PF2= ，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为（2+1）t2=4c2， 由2，可得 e2=,令 m=+1，可得 =m-1，即有 =2（）2+ ,由，可得 m3，即，则 m=2 时，取得最小值 ；m= 或 3 时，取得最大值 即有 e2 ，解得e故选
