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1、第五章 试验设计,一、试验设计及其应用范围 二、 方差分析 三、正交设计,免费下载！,Page 2,一、试验设计及其应用范围,试验设计发源于英国，最早应用于农业生产，在考察各种肥料及施肥量对农作物产量的影响时，建立了试验设计的最初的数学模型。随着生产的发展，试验设计的理论和方法也就随之不断发展，各种有效的试验方法越来越广泛地被各个部门所采用。在质量管理中使用试验设计主要有下面二个目的： 1、通过试验，确定影响质量或生产过程的主要原因； 2、选择满足设计质量或产品质量的操作条件。,Page 3,试验设计的有关概念,1、指标。用以衡量试验效果的特性值被称为试验指标。试验指标通常分为两大类型：一类是
2、定量指标，直接用数量来表示的指标，如收率、产量、硬度等；另一类是定性指标，不能直接用数量来表示，只能凭感觉或感官 (触、观、尝、嗅等)来评定的指标，如棉花的手感与颜色、食品的酥、脆、香等。,Page 4,2、因素。影响试验指标（结果）的原因称为因素，如反应温度、时间、催化剂种类等。有些因素可以在试验的过程中人为的加以调节与控制，称之为可控因素。如反应温度、反应时间、催化剂的种类等。另一类因素是由于自然、技术与设备等条件的限制，暂时还不能人为调控，这类因素被称为不可控因素(随机因素)，例如地面的轻微震动等。下面我们主要研究可控因素。,Page 5,3、水平因素在试验中所处的各种状态称为因素的水平
3、，如不同的试验温度550C、600C、800C等 。根据试验的需要，因素的水平可以设为二水平、三水平等等。,Page 6,二、方差分析,1、单因素试验 2、双因素试验,Page 7,1、单因素试验 （1）单因素试验数据表,Page 8,表中各符号定义如下：,Page 9,(2)总变差ST,我们定义N=mn个数据xij的总变差ST为：,Page 10,(3) 因素A引起的条件变差SA,在因素A的各水平下，数据均值 互不相同，它们之间的差异主要是由于因素A的水平变化所致。这些均值之间的离差平方和称之为条件变差，记为SA，计算公式如下：,Page 11,（4）试验误差Se,考察因素A的第i水平下的n
4、个数据：xi1,xi2,xin它们也互不相同，这些差异是由于除了因素A以外的其它试验误差所引起的。我们称因素A在同一水平下，n个数据之间的离差平方和为试验误差，记为Se，其计算公式如下：,Page 12,(5)分解公式,前面已经介绍了数据的总变差ST，因素A引起的条件变差SA，以及试验误差Se。从直观上看,引起数据总变差ST的原因，不外乎因素A及除因素A以外的其它试验误差。所以应当有： STSASe。 事实上，下面的推导验证了这种想法是正确的。,Page 13,Page 14,（6）小结,1）试验误差：Se由于试验过程中各种偶然因素及测量误差引起在同一试验温度下试验结果有差异。 2）条件变差：
5、SA由试验条件不同导致试验结果不同，在本例中各种温度下的试验结果的差异即属这类变量。 3）总变差：ST试验误差和条件变差之和称为总变差，且：ST=Se+SA,Page 15,（7）用方差分析解决这类问题的思路是：,a、利用试验数据的总变差分解出条件变差和试验误差； b、将条件变差与试验误差在一定意义下进行比较,如两者之比值不显著,则说明条件对试验结果影响不大,反之,则说明条件对试验结果有影响； c、若条件的影响是显著的，可据此选择好的工艺条件或确定进一步试验的方向。,Page 16,（8）变差的数量表示,设有数据：x1,x2, ,xn，它们的变差平方和以下式表示。,其中:,Page 17,（9
6、）自由度的一般定义,Page 18,并且这m个方程是相互独立的，则：,的自由度f=n-m。求自由度的目的主要是为了消除数据量的差异对变差平方和的影响。定义下式为均方：,Page 19,单因素试验的方差分析计算表,Page 20,Page 21,引入下列记号,Page 22,为了利用上表进行各项平方和的计算，下面对表达式作些演变。,Page 23,Page 24,Page 25,单因素试验方差分析表1,Page 26,单因素试验的方差分析,例：考察温度对某一化工产品的得率的影响。,将该表数据适当线性处理（x-90）得下表：,利用方差分析表来计算下面的例子： 见下表,Page 27,对下表用方差分
7、析表求解,Page 28,Page 29,由数理统计知识得知：,Page 30,均方：,Page 31,方差分析表,Page 32,a、F0.01F ， 因素的影响特别显著,记为“*”； b、F0.05FF0.01，因素的影响显著,记为“*”； c、F0.10FF0.05，因素有影响记为“(*)”； d、F0.25FF0.10，因素有一定影响记为“*”； e、FF0.25，因素无明显影响 不作记号。,Page 33,注：,a、如自由度fe太小会降低F检验的灵敏度，如某因素本来有显著影响，但F检验却检验不出来。fe越大，则F检验灵敏度越高，但fe大也意味着试验次数增加，费用增加。一般情况希望保证
8、fe在510。,Page 34,b、F值特别小，例如大大小于1，这种情况一般不应发生，其原因可能是取样或测量中有系统误差或是实验结果的有效位数取得太小等原因。 c、试验的随机化，例如将例中的15个试验按温度条件分三批，每批5个试验不是按顺序，而是先将它们编号，然后用随机数表等方式决定它们的试验次序。这样的目的是为了尽量减少人为因素等的影响。,Page 35,不等重复数的单因素试验 在前面讨论的例子中，不同试验条件下的试验重复数是相同的，在实践中，并不总是能满足这种情况，有时试验条件不允许，或试验数据失落不全等会造成各试验条件下的试验数据量不等，即试验重复数不等。 对重复数不等的单因素试验的方差
9、分析与重复数相等时很相似，在计算时只需对P、Q、R稍作修改。 设因素A有m个试验条件，各个试验条件相应的试验重复数是r1,r2,rm，共N个数据，令：,Page 36,Page 37,各平方和的计算公式为:,ST=R-P, SA= Q-P, Se=R-Q,Page 38,单因素试验方差分析表2,Page 39,例：六种不同的农药，分析它们在杀虫率方面有无明显的差异，试验结果如下:,解：设xij= xij-80，简化后的数据，及其计算表如下:,Page 40,Page 41,Page 42,Page 43,方差分析表,注：当试验总次数相等时，等重复数试验的精度比不等重复数试验要高，因此，应尽量避
10、免不等重复数试验。,Page 44,2、双因素试验,(1) 交叉分组的双因素试验,交叉分组时，各因素处于平等地位，因素的各个水平之间都要相遇。,Page 45,例,为了考察蒸馏水的PH值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响，将蒸馏水的PH值和硫酸铜溶液浓度分成如下几种情况进行试验。,Page 46,采用交叉分组方法进行试验,试验结果(白蛋白与球蛋白之比)如下：,Page 47,试验结果的方差分析,设因素A有p 个水平，因素B有q个水平，在AiBj条件下的试验数据是xij ,令：,Page 48,总平方和 :,因素A的平方和 :,因素B的平方和 ：,Page 49,试验误差 :,（可
11、以证明： ）,Page 50,为了便于计算，类似于单因素试验，将各平方和公式化简，并采用下列表达式：,Page 51,从而，,由例中的试验结果来计算各项值:,Page 52,Page 53,各项平方和为:,Page 54,方差分析表,Page 55,（2）有交互作用的双因素试验,在一些试验中,不仅因素对试验结果有影响，而且因素之间还联合起来对指标产生作用，这个作用就叫交互作用。 下面用两个实验分别对无交互作用和有交互作用的情况作比较。,Page 56,实验(a)中,从A1A2或从B1B2实验结果的变化与另外一个因素取何种水平无关，这说明因素A与因素B之间不存在交互作用(均增加3个单位)。,(a
12、),Page 57,实验(b)中,则有所不同,从A1A2,实验结果与因素B取何种水平有关。当取B1时试验结果增加3，当取B2时试验结果下降4,这说明A与B之间有交互作用。,(b),Page 58,还可用下面的方法判断因素之间有无交互作用。,从图上可看出，因素之间无交互作用时，两线平行。,Page 59,有交互作用时两线交叉。在实践中由于试验误差的关系，即使因素间无交互作用，作用线也可能不完全平行，只要大体趋向平行就可判断因素间不存在交互作用.,Page 60,如果从图上难以判断时，可用方差分析，但此时要求将试验重复一次以上，否则就无法进行F检验。,（如试验不重复，检验将无法进行）,Page 6
13、1,例：,考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个因素，收缩率A和总拉伸倍数B。两因素各取四个水平，整个试验重复一次，试验结果如下：,Page 62,Page 63,、直观分析,对B的每个水平作出它们的作用线，来考察因素A与B之间是否存在交互作用。,Page 64,从上图可以看出，当因素A变动时试验结果起伏较大,而当因素B变化时,则试验结果变化较平稳，这种现象说明A因素对纤维的弹性的影响比B因素要大。,初次试验时，最好多取几个水平，否则将会误认为因素之间不存在交互作用见下图。,Page 65,Page 66,从图上看到，因素B的四条作用线相交叉，说明因素A与B之间存在交互作用。 如果试验的目的主要
14、是为了选择较好的工艺条件，则可不必对试验结果进行方差分析，直接从试验结果中挑选好的，例如156（A3B2）、155（A2B3）效果最好。,Page 67,、方差分析,如果要深入研究因素及它们的交互作用对试验结果的影响程度，可使用方差分析。设因素A有p个水平，B有q个水平，整个试验重复r次,在AiBj条件下的第k次试验结果记作Xijk，在AiBj条件下作的全部试验结果之和为 ：Xij,即,Page 68,另设：,可以证明各平方和之间有关系式 :,Page 69,相应地,总平方和为 :,Page 70,误差平方和 :,其中:,Page 71,交互作用的平方,自由度:,Page 72,为了便于计算，
15、可将各平方和公式化简，设定易于使用表格中各项数据进行计算的表达式：,Page 73,设 :,各项平方和的表达式改为： ST=W-P,SA=QA-P,SB=QB-P SAB=R-QA-QB+P,Se=W-R,Page 74,原数据表成为：,Page 75,K=123,Page 76,Page 77,Page 78,方差分析表,Page 79,三、正交设计,正交设计是一种安排多因素试验的方法,这种方法简单、易于应用、省时、经济效果良好。它适用于制定新工艺或改良老工艺等需要大量试验的情况。,Page 80,1、基本概念,（1）几个术语 a、指标：根据试验目的选定的用来衡量试验效果的特性值。 b、因素：对试验指标可能有影响的原因。亦称因子，通常以A，B，C表示。 c、因素水平：因素变化的各种状态。亦称位级,通常以A1，A2；B1，B2等表示。,Page 81,（2）正交表,a、正交表的组成与表示法,Page 82,正交表的性质：,（a）每列中各个字码出现的次数相同; （b）任意两列中每个字码对出现的次数相等.,使正交表具有搭配均匀的属性即正交性。,Page 83,还有一类正交表,表的各列中出现的字码不相同,这种正交表称为“混合型正交表”,如：,Page 84,Page 85,2、正交表设计的步骤,例：轴承圈热处理退火试验 (1)试验目的：轴承圈退
