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1、Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,第三讲 双变量线性回归模型,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,双变量线性回归模型,本章介绍双变量线性回归模型的概念、最小二乘估计方法和拟合优度的测度，以及用估计好的模型进行假设检验和预测的方法。,概率论和数理统计的基本思想和目的，就是希望通过样本所反映出来的信息来揭示总体的规律性，这种想法或思路显然存在重大的问题。但另一方面，我们也必须承认，为了寻找总体的规律或客观规律，只能通过样本来进行，因为我们只可能得到样本。,这里所讨论的双变量线性回归模型仅包含一个自变量和一个因变量，是数学模型的最简单形式。当然要注意的是，这里模型讨
2、论是在真正回归意义上来进行的，也可称之为概率意义上的线性模型。,在非确定性意义上，或概率意义上讨论问题，首先要注意一个最基本的概念或思路问题，这就是总体和样本的概念。,在真正回归意义上建立其有效方法时，必须作出相应的假设条件。,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,双变量线性回归模型,第二节 最小二乘估计量的性质 第三节 拟合优度的测度 第四节 双变量回归中的区间估计和假设检验 第五节 预测 第六节 有关最小二乘法的进一步讨论 第七节 极大似然法,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,双变量线性回归模型的概念 双变量线性回归模型 例1：需求函数：Q = + P +
3、u (3.1) 是一个双变量线性回归模型。可见，模型中仅有两个变量（Q和P），一个因变量（或被解释变量）（Q），一个解释变量（或自变量）（P）。由解释变量的变动来说明因变量的变动，或用因变量对解释变量进行线性回归。因而上述模型称为双变量线性回归模型，亦称简单线性回归模型。,第一节、双变量线性回归模型的估计,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,例2：凯恩斯消费函数：C = + D + u (3.2) 式中，C为消费支出；D为个人可支配收入；u为扰动项（或误差项）,是一个具有明确概率性质的随机变量，它代表未包括在方程右端（RHS）解释变量中的所有其他影响消费的因素。 此模型中，方程
4、左端（LHS）的消费支出C为因变量，方程右端（RHS）的个人可支配收入D为解释变量，未知参数和亦称为回归系数（或总体参数）。由于双变量线性回归模型的图形是一条直线，因而和习惯上又分别称为截距（intercept）和斜率（slope）。 斜率的含义是：解释变量增加一个单位所引起的因变量的变动。这里的含义是：个人可支配收入增加一个单位所引起的消费的增加量，经济学中称之为边际消费倾向（MPC: marginal propensity to consume）。截距的含义是：解释变量为零时的值；在计量经济分析中，通常不大关注的取值如何。,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,Demand
5、function “A relationship which shows mathematically how the quantity demanded of a good or service responds to changes in a number of economic factors such as its own price, the prices of substitutes and complementary goods, income, credit terms, etc. The quantity demanded is the dependent variable
6、and the other factors are independent variables. The effect of each independent variable on the dependent variable may be estimated statistically by time-series analysis or cross-section analysis of household expenditure data.” (Bannock, G., R. E. Baxter and D. Evan (1987) The Penguin Dictionary of
7、Econometrics 4th ed., Richard Clay Ltd., p.107),Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,Consumption function “With stable preferences, consumption depends on income: consumption is a function of income. As income increases, other things being equal, consumption will increase, though not at the same rate as income
8、. As income rises, consumers will save proportionally more and spend proportionally less and the reverse happens when income falls. This relationship between income and consumption assumes that a number of possible influences remain neutral.” (Bannock, G., R. E. Baxter and D. Evan (1987) The Penguin
9、 Dictionary of Econometrics 4th ed., Richard Clay Ltd., p.87),Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,1、双变量线性回归模型,习惯上，采用Y表示因变量，X表示解释变量。双变量线性回归模型的一般形式为： Y = + X + u (3.3) 在实践中，对于因变量Y和解释变量X的一组具体观测值Yt和Xt（t=1,2,n），应用此模型有 Yt = + Xt + ut，t=1,2,n (3.4) 更一般的形式为 Yi = + Xi + ui，i=1,2,n (3.5) 式（3.4）一般用于观测值为时间序列的情形，而式（3.5）多用
10、于横截面数据的情形。,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,2、模型中为何要包括扰动项u,在模型中必须加入扰动项u的理由是： Y与X之间的真正关系是Yf(X, X2, X3, , X)，但X2, X3, , X相对不重要，用u代表。 两变量之间的关系可能不是严格线性的，u反映了与直线的偏差。 经济行为是随机的。但在经济学中，变量之间的关系都是以确定性关系的形式（如：Y = + X）来陈述的。经济学家相信可以用形式上的确定性关系来解释“典型”的经济行为，而用随机扰动项u来表征变量间关系的“个体偏差”，且u满足一些较为良好的性质如其均值为零，方差较小等。 由于存在测量误差，精确关系式
11、Y* = + X*是不可能得到的，式中Y*，X*为消费和收入的真实值。若实际测量的消费和收入值为Y和X，则模型应为Y = + Xu。,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,3、模型的确定部分和随机部分,在计量经济学中，我们专门研究变量间的随机性关系，如： Yt = + Xt + ut，t = 1, 2, , n 这些随机性关系往往可以分成两个部分：一部分是非随机部分，如式中的 + Xt就是Yt的是非随机部分，称为模型的确定部分或系统部分，而另一部分是均值为零的随机部分即随机扰动项ut。 我们通常假定X为非随机变量，而Y，因其包含随机扰动项ut，则为随机变量。在非随机变量X一定的条
12、件下，随机变量Y的系统部分为X的线性函数。实际上，随机变量Y的系统部分就是Y在非随机变量X一定的条件下的数学期望。,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,普通最小二乘法（OLS法） 在双变量模型设定之后，下一步就是估计模型中的未知参数和。估计模型参数最常用的方法是普通最小二乘法（OLS: ordinary least squares）。这一方法是由德国数学家高斯(Gauss: 1777-1855)首先提出的。,第一节、双变量线性回归模型的估计,高斯(Gauss: 1777-1855)是德国数学家，也是天文学家和物理学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数
13、学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,普通最小二乘法（OLS法） 双变量线性回归模型的统计假设,第一节、双变量线性回归模型的估计,设双变量线性回归模型 （the two variable linear regression model） Yt = + Xt + ut，t = 1, 2, , n
14、 满足如下经典假设：,假设1：Y和X之间的关系如上式所述是线性的。 (As described, the relationship between Y and X is linear.),Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,普通最小二乘法（OLS法） 双变量线性回归模型的统计假设,第一节、双变量线性回归模型的估计,假设2：Xt（t = 1, 2, , n）为非随机变量，即Xt的取值是确定的。或采用弱一些的条件，即ut和Xt的协方差为零： E(utXt) = 0, t = 1, 2, , n 即解释变量X与扰动项u不相关。假设2是一个非常重要的假设，它说明随机变量Y中能够用X解释
15、的部分完全从随机扰动项中分离了出来。因而，在随机扰动项中不再包括与解释变量X有任何相关的因素了。 （The Xts are nonstochastic variables whose values are fixed.）,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,普通最小二乘法（OLS法） 双变量线性回归模型的统计假设,第一节、双变量线性回归模型的估计,假设3：各期扰动项ut的数学期望（均值）为零。即 E(ut) = 0, t = 1, 2, , n 均值为零的假设反映了这样一个事实：当解释变量X取值一定时，应变量Y的值可能大于或小于其系统部分+Xt，但平均来看，还是与+Xt相等。
16、（The error term has zero expected value for all observations.）,Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,普通最小二乘法（OLS法） 双变量线性回归模型的统计假设,第一节、双变量线性回归模型的估计,假设4：各期扰动项之间互不相关。即 Cov(ui, uj) = Eui-E(ui)uj-E(uj) = E(uiuj) = 0, i j 假设3 也就是说不同观测点的扰动项之间无自相关或无序列相关。 (The random variables ui are statistically independent.),Tuesday, 7 Oct. 2008,CUFE,普通最小二乘法（OLS法） 双变量线性回归模型的统计假设,第一节、双变量线性回归模型的估计,假设5：各期扰动项ut的方差相等。即 Var(ut) = Eut-E(ut)2 = E(ut2) = 2
