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1、第四章数据的概括性度量,第一节数据的集中趋势度量 前面向大家介绍过，当我们通过统计调查获得统计数据后，首先对数据描述统计分析，然后进行推断统计分析。 在对数据进行描述统计分析， 大概是按照下列步骤进行： 获取统计数据（统计调查、查阅资料） 描述统计（主 要分析数据的特征） 推断统计 分析总体特征 ,我今天向大家介绍描述统计，主要就是分析数据的基本特征。 我们在考虑一批数据基本特征时，首先考虑是从总的角度来看这批数据的大小或者高低，在统计学上，这种思考方式称为数据的集中趋势。那么怎么度量数据的集中趋势呢？不同类型数据采用不同的量去度量， 下面分别向大家介绍。 分类数据 ：众数 众数（mode）是
2、：指一批数据中出现次数最多的那个 数 据。 在我们前面讲过的例题中，大家看下表,大家回忆前面的例2， 通过做透视图， 就知道在例2种，“碳酸饮料”是众数，因为它出现的频数最大，是16次。 前面跟大家讲过，凡是适合低价数据的统计方法，对高级都是适合的，反之不成立。因此对于顺序数据和数值型数据我们也可以用 众数来表示他们的集中趋势。 在课本上，例 4.2 例4.3 讲解 注意： 在一批数据中，有时众数可能不只一个。 在一批数据中，有时也可能没有众数。,顺序数据：中位数和分位数 对于顺序数据来说，我们描述它们的集中趋势主要是 中位数（median）和四分位数（quartile）。这个内容， 上一节课
3、 我向大家介绍箱线图时，讲过了， 不想再重复 了。 例 13 求下列数据的众数、中位数、上四分位数和下四分 位数 。 46 67 89 21 34 56 56 78 21 23 34 22 25 63 56 45 32 34 67 98 67 56 56 45 26 29 30 33 请大家拿一张纸 出来， 做好并写上姓名、学号和专业 交给我。,下面我跟大家讲一下课本上例3.5 中顺序数据的中位数和四份为数怎么求的问题，请大家把书翻到第59页。 注意：分类数据没有中位数和分位数。 数值型数据：平均数（均值）（mean ） 数值型数据的集中趋势常用平均数来反映。它只适合 数值型数据，对顺序数据和
4、分类数据都不适合。由于数值 型数据通常分为分组数据和未分组数据，这两种情况计算 均值是不同的， 下面分别介绍。 1 未分组数据 对于未分组数据， 计算它们的均值采用简单平均数,例如 假设有一组数据 ： 30 34 56 78 21 34 57 则它们的平均值是 分组数据 对于分组数据，我们计算它们的均值， 通常采用加权 平均数方法。 设有一分组数据，分为k组，各组组中值分别是 ，各组出现频数分别是 ，则这些数据的平均值是,这些数据的平均值是 在上式求加权平均值过程中， ，叫做“权”。 课本上例4.7 讲解。 思考题：我们现在学习的平平均数（均值）和概论统计 课程中学习的均值有什么相同点和不同点
5、？,通过前面的学习，我们已经知道了平均数只是数值型数据集中趋势的反映，也就是说，当我们计算发现这批数据的平均数大，表明这批数据总体上比较大或者高，如果这批数据的平均值比较小， 说明这批数据总体上看比较小或者低。请同学们注意：这些数值型数据都是直接反映事物的数量多少，都是有单位的，在统计学上，这类数据称为绝对量。 在统计学里， 除了绝对量以外，还有一类数值型数据， 它们是某两个绝对量的比值， 这类数据称为相对量。 例如，在经济学里，GDP增长，股票收益率，利润率等等。 对于相对量的平均值， 我们要用几何平均值来计算。下面向大家介绍几何平均数 （geometric mean）,设有数据（相对量）
6、，则这些数据的几何平均数是 在经济学里，几何平均数经常用来计算平均收益率、平均增长率、平均发展速度、平均利润率等等。 例题,例题讲解 19982002年我国国内生产总值如下表所示 年 份 1998 1999 2000 2001 2002 国内生产总值 78345.2 82067.5 89468.1 97314.8 104790.6,解：各年发展速度计算方法是 我们算出各年发展速度后，再算出各年的平均发展速度，最后算出我国各年国内生产总值的平均增长率。 请同学们现在完成 提示：平均增长率=平均发展速度-1,第二节 离散程度的度量 离散程度也称为发散程度，它是和集中趋势相反的趋势， 表示一组数据离
7、开它们的中心的程度。和集中趋势类似，不同类型数据计算其 离散趋势也是不同的。下面分别介绍。 一 分类数据 ：异众比率 异众比率（variation ratio）是指非众数组的频数占总频数的比例。计算方法是,例4.9 讲解分析 异众比率也可以度量顺序数据和数值型数据的发散程度，因为顺序数据和数值型数据比分类数据高级，同时顺序数据和数值型数据还有其他方法来度量它们的发散程度，但这些方法不适合分类数据。 二 顺序数据 顺序数据的发散程度常用四分位差（quartile deviation），四分位差计算方法就是上四分位数减去下四分位数，即 先看课本上的例4.10,例 14 我们现在来计算课本中例3.5
8、中顺序数据的四分位差 甲城市的下四分位数是：不满意 甲城市的上四分位数是：一般 所以甲城市家庭对住房情况满意度的四分位差是 乙城市的下四分位数是：不满意 乙城市的上四分位数是：满意 所以乙城市家庭对住房满意度的四分位差是 可以看出，甲乙两个城市对住房满意度的调查中，乙城市,的四分位差是2， 甲城市的四分位差是1 。所以甲城市市民对住房问题看法比乙城市要集中些。 数值型数据 数值型数据离散程度度量方法有：极差、平均差、方 差和标准差。 设有未分组数据 ，这组数据的 极差是 平均差是 是均值,方差是 例如 设有统计数据：1 3 4 5 3 2 8 9 19 则 极差是R=19-1=18 均值是 方
9、差是 标准差是方差的算术平方根 。,对于n个数据，为什么在计算方差时，分母是n-1 而不是n呢？这里就是对自由度的理解问题，为此，我们先看一个线性方程 （1） 在方程（1）中，有三个变量x，y，z, 独立变量有两个。再加一个方程 （2） 由（1）和（2）构成的一个方程组 （3）,显然，方程组（3）中独立变量的个数只有一个。若再加一个方程 （4） 由（3）和（4）构成的方程组是 （5）,（5）的独立变量的个数是零个，所以方程组（5）只有一组解。 从方程组（3）、（4）和（6），可以看出，每增加一个等式，方程组独立变量的个数减少一个。 在方差表达式 中，由于在计算均值 时，应用等式 ，相当于增加了
10、一个约束， 独立变量的个数就减少一个，所以只有n-1个。 而方差是 单位自由度的平方和， 也就是说，每个自由度的平方和， 所以除以n-1，而不是除以n .,如果统计数据是分组数据， 则 方差是,例题我国某省百强工业企业某年纳税分组资料如下表所示,现在我们来计算甲乙两单位平均工资水平及方差。 解：甲单位平均工资水平是 乙单位平均工资水平是 甲乙两单位工资水平的方差和标准差分别是,它们的标准差分别是,可以看出，乙单位的平均工资高于甲单位，其工资的方差和标准差也高于甲单位。 通过上述的计算，我们能不能说乙单位工资收入分配差距比甲单位更大呢？要回答这个问题， 首先要学习离散系数。 相对离散程度：离散系数 离散系数是反映样本相对离散程度的量，它是一个相 对量， 主要用于不同总体样本的比较 。 计算方法是 离散系数越大，说明这组数据越发散， 反之，有相反结 论。,我们现在来计算一下甲乙两个单位员工资的离散系数。 由于乙单位的离散系数大于甲单位，所以 乙单位的工资水平更发散些。,
