信道编码和差错控制 (2)课件

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1、第10章 信道编码和差错控制,10.1 概述 10.2 纠错编码的基本原理 10.3 纠错编码系统的性能 10.4 奇偶监督码 10.5 线性分组码 10.6 循环码,信源编码与信道编码 信源编码(有效性编码) 去除冗余 提高数字信号的有效性 模拟信号数字化 信道编码(可靠性编码) 添加冗余 降低差错率：牺牲通信的有效性（信息传输速率）来提高可靠性 差错控制：包括信道编码在内的一切纠正错误手段 差错控制技术的种类 检错重发 能发现错码，但是不能确定错码的位置 通信系统需要有双向信道 前向纠错(FEC)：利用加入的差错控制码元，不但能够发现错码， 还能纠正错码 反馈校验 将收到的码元转发回发送端

2、，将它和原发送码元比较 缺点：需要双向信道，传输效率也较低 检错删除 在接收端发现错码后，立即将其删除 适用在发送码元中有大量多余度，删除部分接收码元不影响应用之处,10.1 概述,自动要求重发(ARQ)系统 停止等待ARQ系统 拉后ARQ系统,10.1 概述,自动要求重发(ARQ)系统 选择重发ARQ系统,10.1 概述,ARQ和前向纠错比较 优点 监督码元较少，即码率较高 检错的计算复杂度较低 能适应不同特性的信道 缺点 需要双向信道 不适用于一点到多点的通信系统或广播系统 传输效率降低，可能因反复重发而造成事实上的通信中断,产生错码的原因 乘性干扰引起的码间串扰 加性干扰引起的信噪比降低

3、 信道分类：按照加性干扰造成错码的统计特性不同划分 随机信道：错码随机出现，例如由白噪声引起的错码 突发信道：错码相对集中出现，例如由脉冲干扰引起的 错码 混合信道 编码序列的参数 n 编码序列中总码元数量 k 编码序列中信息码元数量 r 编码序列中差错控制码元数量 （差错控制码元，以后称为监督码元或监督位 ） k/n码率 (n-k)/k=r/k冗余度,10.1 概述,10.2 纠错编码的基本原理,差错控制编码 理论依据：香农信道编码定理 对于一给定的有干扰信道，若其信道容量为C，只要发送端以低于C 的速率R发送信息，则一定存在一种编码方法，使编码错误概率P随 着码长n的增加，按指数下降到任意

4、小的值 基本思想 通过对信息码元序列作某种变换,使原来彼此相互独立,没有关联的信 息码元序列,经过这种变换后,产生某种规律性或相关性,使在接收端可 根据这种规律性来检查,以至纠正传输序列中的差错 实现：发送端按照某种规则在信息序列上附加监督码元，接收端则按 照同一规则检查两者间关系,10.2 纠错编码的基本原理,差错控制编码 简单例子 假如要传送A、B两个消息，消息A-“0”；消息B-“1” 若传输中产生错码（“0”错成“1”或“1”错成“0”）收端无法发 现，该编码无检错纠错能力 消息A-“00”；消息B-“11” 若传输中产生一位错码，则变成 “01”或“10”，收端判决为有错 （因“01

5、”“10”为禁用码组），但无法确定错码位置，不能纠 正，该编码具有检出一位错码的能力。这表明增加一位冗余码 元后码具有检出一位错码的能力 消息A-“000”；消息B-“111” 传输中产生一位即使两位错码，都将变成禁用码组，收端判决 传输有错。该编码具有检出两位错码的能力。 在产生一位错码情况下，收端可进行正确判决，能够纠正这一 位错码。该编码具有纠正一位错码的能力。这表明增加两位冗 余码元后码具有检出两位错码及纠正一位错码的能力。 可见，纠错编码之所以具有检错和纠错能力，确实是因为在信息码 元外添加了冗余码元（监督码元）。一般说来，添加的冗余越多， 码的检错、纠错能力越强，但信道的传输效率下

6、降也越多。,10.2 纠错编码的基本原理,差错控制能力与编码效率 设：有一种由3个二进制码元构成的编码，它共有23 = 8种不同的可 能码组： 000 晴 001 云 010 阴 011 雨 100 雪 101 霜 110 雾 111 雹 这时，若一个码组中发生错码，则将收到错误信息 若在此8种码组中仅允许使用4种来传送天气，例如：令 000 晴 011 云 101 阴 110 雨 为许用码组，其他4种不允许使用，称为禁用码组 这时，接收端有可能发现（检测到）码组中的一个错码。 这种编码只能检测错码，不能纠正错码 若规定只许用两个码组： 例如 000 晴 111 雨 就能检测两个以下错码，或纠

7、正一个错码,分组码概念 分组码 信息位 监督位 分组码符号：(n, k) 其中，n 码组总长度 k 信息码元数目 r = n k 监督码元数目 右表中的码组为(3, 2)码 分组码的一般结构：,10.2 纠错编码的基本原理,码重 码字中非零码元的数目 码距 两个码字中对应码位上具有不同二进制码元的位数定义两码字的距离， 称为汉明（Hamming）距离,简称码距 最小码距 在一个码中，任意两个码字间距离的最小值，即码字集合中任意两元素 间的最小距离，记为d0 码距的几何意义：以n = 3的编码为例 一般而言，码距是 n 维空间中单位 正多面体顶点之间的汉明距离,10.2 纠错编码的基本原理,最小

8、码距与检、纠错能力关系 一个码能检测e个错码，则要求其最小码距 d0e+1 反之，若码的最小距离为d0， 则最多能检测d0-1个错码 一个码能纠正t个错码，则要求其最小码距 d02t+1 反之，若码的最小距离为d0， 则最多能纠正(d0-1)/2个错码,10.2 纠错编码的基本原理,最小码距与检、纠错能力关系 一个码能纠正t个错码，同时能检测e个错码，则要求其最小码距 d0e+t+1 (et),10.2 纠错编码的基本原理,误码率性能和带宽的关系 采用编码降低误码率所付出的 代价是带宽的增大,10.3 纠错编码系统的性能,功率和带宽的关系 采用编码以节省功率，并保持误码率 不变，付出的代价也是

9、带宽增大。,10.3 纠错编码系统的性能,传输速率和带宽的关系 对于给定的传输系统，其传输速率 和Eb/n0的关系： 式中，RB 码元速率。 提高传输速率，采用编 码以保持误码率不变；付出 的代价仍是带宽增大,10.3 纠错编码系统的性能,编码增益 定义：在保持误码率恒定条件下， 采用纠错编码所节省的信 噪比Eb/n0 称为编码增益： 式中， (Eb/n0)u 未编码时的信噪比(dB) (Eb/n0)c 编码后所需的信噪比(dB),10.3 纠错编码系统的性能,一维奇偶监督码 在信息码元后附加一位监督位，使得码组中“1”的个数为偶数或奇 数,按照奇偶数分为奇数监督码和偶数监督码两类 (n,n-

10、1) 分组码，码率为(n-1)/n（或k/(k+1) 奇数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为奇数： 式中，a0为监督位，其他位为信息位 偶数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为偶数： 式中，a0为监督位，其他位为信息位 检错能力 能够检测奇数个错码 应用：以随机错误为主的计算机通信系统，难于对付突发错误,计 算机内部的数据传送，就是采用这种码,10.4 奇偶监督码,二维奇偶监督码 有可能检测偶数个错码，但当偶数个错误刚好分布在矩阵的四个顶点 时，则检测不出 适合检测突发错码 能够纠正部分错码,10.4 奇偶监督码,基本概念 代数码 利用代数关系式产生监督位的编码 线性分组码 代数码的

11、一种，其 督位和信息位的关系由线性代数方 程决定 汉明码 一种能够纠正一个错码的线性分组码 汉明码 发送端编码：将一位监督码元附加在信息码元后，使得码元中“1” 码元个数为偶数 接收端译码： 计数接收码组中“1”码元个数是否为偶数，即计算： S=an-1+ an-2+ + a0 （1） S=0认为没错，S=1认为有错 （1）式称为监督方程/监督关系式，S称为校正子/校验子/伴随式,10.5 线性分组码,汉明码 监督位增加到2位：有两个监督方程，两个伴随式；两个伴随式组合有 四种（00表示无错，01、10、11表示一位错码的三种可能位置） 监督位增加到r位：可指示一位错码的（2r-1）个可能位置

12、 一般说来，对于（n，k)分组码，若希望用r=n-k个监督位构造出的r个 监督关系式来指示一位错码的n种可能位置，则要求： 2r-1n 即 2r k+r+1 （2） 举例：构造一（n，k)分组码，k=4并能纠正一位错码 欲纠正一位错码，由（2）式知r 3，取r=3，则n=k+r=7 设7位码元为：a6a5 a0；三个伴随式：S1、S2、S3；则可规定S1S2S3的 八种组合与一位错码的对应关系如下（也可规定为另一种对应关 系）：,10.5 线性分组码,10.5 线性分组码,汉明码 举例：构造一（n，k)分组码，k=4并能纠正一位错码 从上表可见： 当一位错码发生在a2、a4、a5或a6上时，S

13、1为1；否则为0。 即a2、a4、a5和a6构成偶监督关系： S1= a2+a4+a5+a6 同理，a1、a3、a5和a6构成偶监督关系： S2= a1+a3+a5+a6 a0、a3、a4和a6构成偶监督关系： S3= a0+a3+a4+a6,10.5 线性分组码,汉明码 发端编码原则 信息码元a6 、a5 、a4、a3来源于待编码的信息序列； 监督码元 a2 、a1、 a0的取值应根据信息码元按监督关系式来决定， 即使上面三式中的S1、 S2 、S3均为0： a2+a4+a5+a6=0 a1+a3+a5+a6=0 （3） a0+a3+a4+a6=0 a2=a4+a5+a6 a1=a3+a5+

14、a6 （4） a0=a3+a4+a6 于是，给定信息位后，根据上式算出各监督位，于是该编码的所有 码组如下表： 汉明码的编码效率较高，其编码效率： 该汉明码的码率较高：k/n=4/757%。与相同码长、能纠正 一位错码的其他分组码相比，该码效率最高，且实现简单。,1 a6+ 1 a5+ 1 a4 +0 a3+ 1 a2 + 0 a1+ 0 a0=0 1 a6+ 1 a5+ 0 a4 +1 a3+ 0 a2 + 1 a1+ 0 a0=0 1 a6+ 0 a5+ 1 a4 +1 a3+ 0 a2 + 0 a1+ 1 a0=0, (5),10.5 线性分组码,线性分组码 监督矩阵 由（7，4）汉明码出发， （3）式可改写成： 写成矩阵形式：, (6),可化简为： HAT=0T 或AHT=0 其中， H= 称为线性分组码的监督矩阵, rn阶矩阵 监督矩阵H确定了编码时监督码元与信息码元的关系 把具有PIr形式的H矩阵称为典型形式的监督矩阵，其中P为rk阶 矩阵, Ir为r r阶单位方阵 H矩阵的各行应线性无关。矩阵若能写成典型形式，则其各行一定线 性无关,10.5 线性分组码,线性分组码 监督矩阵 生成矩阵 （4）式也可写成矩阵形式，即 对（7）式两侧作矩阵转置，得： 其中Q=PT可见，Q为kr阶矩阵, (7),构造矩阵G：在Q矩阵的左边加上一个k k阶矩阵