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1、狄拉克 PAUL DIRAC 狄拉克（19021984）是英国物理学家。 科学成就 狄拉克对物理学的主要贡献是发展了量子力学，提出了著名的狄拉克方程，并且从理论上预言了正电子的存在。,(一）引 (二) 态矢量 （三）算符 （四）总结,4.5 狄喇克符号,前三章给出的都是 X - 表象中的形式， 本章中给出了任一力学量 Q-表象中的形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量， 而不用具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子
2、的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的， 所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。,(一）引言,4.5 狄喇克符号,（1）右矢空间,前面已经讲过，一个状态通过一组力学量完全集的测量（完全测量）来确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。,例如：一维线性谐振子其状态由量子数 n 确定，记为n(x)；氢原子的状态由量子数 n, l, m 确定，记为n l m( r, )，如此等等。,在抽象表象中 Dirac 用右矢空间的一个矢量 | 与量子状态相对应，该矢量称为右矢。,|n n(x)； |n, l, m n l m 状态 |n 和 |n, l, m 亦可分别记成 |
3、n 和 |n l m 。,对力学量的本征态可表示为|x, |p, |Qn . 等。,因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。,右矢空间的任一矢量 | 可按该空间的某一完备基矢展开。,例如：,(二)态矢量,4.5 狄喇克符号,（2）左矢空间,右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 |。例如：,Dirac 符号,右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间， 称为伴矢量。 p |, x |, Qn | 组成左矢空间的完备基组， 任一左矢量可按其展开， 即左矢空间的任一矢量可按左矢空
4、间的完备基矢展开。,4.5 狄喇克符号,（3）| 和 |的关系,| 按 Q 的左基矢 |Qn 展开 | = a1 |Q1 + a2 |Q2 + . + an |Qn + . 展开系数即相当于 Q 表象中的表示：,| 按 Q 的左基矢 Qn | 展开： | = a*1 Q1 | + a*2 Q2 | + . + a*n Qn | + . 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： + = (a*1, a*2, ., a*n, . ),同理 某一左矢量 和 | 的标积为：,显然 * = ,这就是用Dirac 表示的波函数 归一化条件。,由标积定义得:,4.5 狄喇克符号,本征态的正交归 一化条件可写为：
5、,由此可以看出 | 和 |的关系：,1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭； 2）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加； 3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。,（4）本征函数的封闭性,展开式,两边左乘 Qm | 得:,将 a n 代回原式得：,因为 | 是任意态矢量，所以,成立。,本征矢 |Qn 的封闭性,I 分 立 谱,4.5 狄喇克符号,对于连续谱 |q ，q 取连续值，任一状态 | 展开式为：,II 连 续 谱,左乘 q |,代入 原式,因为 | 是任意态矢，所以有,同理，对于 |x 和 |p 分 别 有,这就是连续本征值
6、的本征矢的封闭性。,由于,所以 它们也称为单位算符，在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。,例如：在 | 左侧插入算符,同理,即得态矢按各种力学量本征矢的展开式,4.5 狄喇克符号,投影算符,|Qn上，相当于把 | 投影到左基矢 |Qn 或 |q 上，即作用的结果只是留下了该态矢在 |Qn 上的分量 或 。故称 |Qnq| 为投影算符。,因为| 在 X 表象的表示是(x, t)，所以显然有：,封闭性在 X 表象中的表示,左乘 ,正交归一性的表示式是对坐标的积分,封闭性表示式是对本征值求和或积分,所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。它来自
7、于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。,分立谱,连续谱,封闭性与正交归一性比较,在形式上 二者相似,区别,4.5 狄喇克符号,(1) 右矢空间,在抽象的Dirac表象,Dirac 符号的特点是简单灵活。如果欲把上式写至 Q 表象，则只需在适当位置插入单位算符。,左乘 Qm |,把公式 变到 Q 表象,算符 F 在Q 表象 中的矩阵表示的 矩阵元 Fm n,写成矩阵形式, = F ,Q 表象,X表象,（三）算符,4.5 狄喇克符号,平均值公式,插入 单位算符,（2）共轭式（左矢空间）,表明量子力学中的力学量 既可以向右作用到右矢量上， 也可以向左作用到左矢量上。,若 F是 厄密算符,4.5 狄喇克符号,例：力学量算符 x 在动量中的形式,左乘 p |,代回原式,故坐标算符 x 在动量表象中取如下形式:,4.5 狄喇克符号,（1）X 表象描述与 Dirac 符号,总结,4.5 狄喇克符号,（2）左右矢空间的对应关系,左矢空间 右矢空间,（3） 厄密共轭规则,由常量 C、左矢、右矢和算符组成的表示式，求其厄密共轭式的表示规则,1）把全部次序整个颠倒,2）作如下代换：,常量 C C*,| |,例如,4.5 狄喇克符号,如果两算 和 对易，并且 是 的一个本征矢，本征值为 ，证明 也是 的本矢征，本征值仍为 。,作 业,4.5 狄喇克符号,
