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1、,2.4.2抛物线的简单几何性质(3),判断直线与双曲线位置关系的操作程序,把直线方程代入双曲线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与双曲线的 渐进线平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,复习:,一、直线与抛物线位置关系种类,1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）,与双曲线的情况一样,x,y,O,二、判断方法探讨,1、直线与抛物线相离，无交点。,例：判断直线 y = x +2与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。,x,y,O,2、直线与抛物线相切，交与一点。,例：判断直线 y = x +1与 抛物线 y2 =4x 的位
2、置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。,二、判断方法探讨,3、直线与抛物线的对称轴平行，相交于一点。,例：判断直线 y = 6 与抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标,二、判断方法探讨,x,y,O,例：判断直线 y = x -1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。,4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。,二、判断方法探讨,三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行（重合）,相交（一个交点）
3、,计 算 判 别 式,判断直线是否与抛物线的对称轴平行,不平行,直线与抛物线相交(一个交点),平行,三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二）,计 算 判 别 式,1,3,2,3条,2条,1条,抛物线焦点弦,探究一：弦长问题,探究二：角度（圆与直线位置关系）问题,(2),(3),(4),(4),探究二：角度（圆与直线位置关系）问题,探究二：角度（圆与直线位置关系）问题,探究二：角度问题,探究二：角度问题,探究二：角度问题,探究三：定值问题,探究三：定值问题,探究四：最值问题,小结：,（1）转化的思想；,（2）定义的理解.,(1)以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切,焦点弦的几个结论,抛物线中
4、的最值问题,例一、,点P在抛物线y2=x上，定点A(3,0),求|PA|的最小值。,法一、目标函数法,法二、判别式法,过作同心圆,当圆与抛物线相切时,到点的距离最小,设为r,练习：,若P为抛物线y2=x上一动点，Q为圆（x-3)2+y2=1 上一动点，求|PQ|的最小值,例二、 设P为抛物线y= x2上的一动点，求P点到直线 L: 3x-4y-6=0的距离的最小值。,法一、目标函数法,法二、判别式法,解：当L平移到与抛物线y=x2只有一个公共点时,设此时的直线为L1，其方程为3x-4y-b=0。则L与L1的距离即为所求。,练习：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(4,4)、B(1,-2)的
5、连线为底边ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求： ABP的最大面积及此时点P的坐标。,分析1：动点在弧AB上运动，可以设出点P的坐标，只要求出点P到线段AB所在直线AB的最大距离即为点P到线段AB的最大距离，也就求出了ABP的最大面积。,分析2：我们可以连接AB，作平行AB的直线L与抛物线相切，求出直线L的方程，即可求出直线L与AB间的距离，从而求出ABP面积的最大值和点P的坐标。,小结：,对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值问题，可以由两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用函数最值的方法求解；也可以通过一些几何性质和已知条件构造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判
6、断方程的判别式寻求题目的答案。,已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值，求点P的坐标,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。,即|PF| = |PN|, |PM|+|PF|= |PM|+|PN|,当 M、P、N三点共线时距离之和最小。,例三、,如图，由抛物线的定义：,分析：,解：,如图所示,Q,所求p点位置,9,几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的定义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，将图形局部进行转化，使最值问题得以求解,小结：,练习：,2、求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0 距离最小值，并求取得最
7、小值时抛物线上的点的坐标,课堂小结：,在解析几何中，常见的最值问题的求解方法主要有以下几种：,抛物线中的定点和定值问题,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO（如图所示）. （1）求AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （2）AOB的面积是否存在最小值？若存在， 请求出最小值；若不存在，请说明理由.,例2、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。,例、已知过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点。 （1） 是否为定值？ 呢？ （2） 是否为定值？,这一结论非常奇妙, 变中有不变,动中有不动.,x,y,例A,B是抛物线 上的两点， 满足 （O为坐标原点）： （1）求证：A、B两点的横坐标之积与纵坐标之积均为定值； （2）直线AB经过一定点；,
