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1、5.2 对数坐标图,5.2.1 对数坐标图及其特点 5.2.2 典型环节的对数坐标图 5.2.3 系统对数频率特性的绘制 5.2.4 最小相位系统及非最小相位系统的对数坐标图,5.2.1 对数坐标图及其特点,1波德图的坐标轴,Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。, 横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值 logw 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是非线性刻度。w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示
2、：,由于w 以对数分度，所以零频率点在处。,更详细的刻度如下图所示, 纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L(w)=20logA(w) 表示。其单位为分贝(dB)。,相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。,一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。,当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益=20log (幅值),2使用对数坐标图的优点,可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。,所有的典型环节的幅频特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示。 对
3、实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。,5.2.2 典型环节的对数坐标图,1比例环节：,幅频特性： ；相频特性：,对数幅频特性：,相频特性：,2积分环节的频率特性：,可见斜率为20/dec, 惯性环节的频率特性：,对数幅频特性： ，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：,低频段：当 时， ，称为低频渐近线。,高频段：当 时， ，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。,当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。,低频高频渐近线的交点为： ，得： ，称为转折
4、频率或交换频率。,图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。,波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：,当 时，误差为：,当 时，误差为：,最大误差发生在 处，为,相频特性：,作图时先用计算器计算几个特殊点：,由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0, 45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。,当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。, 振荡环节的频率特性：,讨论 时的情况.频率特性为：,对数幅频特性为：,低频段渐近线：,高频
5、段渐近线：,两渐近线的交点 称为转折频率。ww0后斜率为-40dB/Dec。,对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率 。,该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数z有关，当 时， ；当 时，无谐振峰值；当 时，有谐振峰值。,当 ， ， 。,因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。,由幅频特性,左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。,当0.3z0.8，误差约为4.5dB,相频特性：,几个特征点：,相频特性曲线在半对数坐标中关于( w0, 90)点是斜对称的。,这里
6、要说明的是当 时， ,当 时， 。此时若根据相频特性的表达式用计算器来计算只能求出90之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是说当 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到 。即当 时，用计算器计算的结果要减180才能得到 。, 微分环节的频率特性：,微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：,频率特性分别为：, 纯微分：, 一阶微分：,这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐近线的交点为,相频特性：几个特殊点如下,相角的变化范围从0到 。,一阶微分环节的波德图,惯性环节的波德图, 二阶微分环节：,幅频和相频特性为：,低频渐近线：,高频渐近线：,转折频率为： ，高频段
7、的斜率+40dB/Dec。, 延迟环节的频率特性：,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,5.2.3 系统对数频率特性的绘制,绘制对数幅频特性通常只画出近似折线，如需要较精确的曲线，就对近似折线进行适当修正。绘制步骤如下：,把G(s)化成时间常数形式,式中Td为延迟环节的延迟时间，m1+2m2=m，n+n1+2n2=n,求出20lgK。,求出各基本环节的转折频率，并按转折频率排序，可列表：,确定低频渐近线，其斜率为n20dB/dec,该渐近线或其延长线(当w1的频率范围内有转折频率时)穿过(w=1,L(w)=20lgK)。,低频渐近线向右延伸，依次在各转折频率处改变直
8、线的斜率，其改变的量取决于该转折频率所对应的环节类型，如惯性环节为20dB/dec，振荡环节为40dB/dec，一阶微分环节为20dB/dec等。这样就能得到近似对数幅频特性。,如果需要，可对上述折线形式的渐近线作必要的修正(主要在各转折频率附近)，以得到较准确的曲线。,对数相频特性的绘制，通常是分别画出各基本环节的j(w)，然后曲线相加。,实际画图时，可先写出总的相频特性，然后用计算器每隔十倍频程(或倍频程)算一个点，用光滑曲线连接即可。,例：已知 ，画出其对数坐标图。,解：将传函写成时间常数形式,这可以看作是由五个典型环节构成的,求 20lgK=20dB,注意转折频率是时间常数的倒数,列表
9、,w,w,L(w),j(w),200,-20,-20,-40,-60,相频特性,特别注意相频特性表达式中 一项当w20时的计算。,5.2.4 最小相位系统非最小相位系统的对数坐标图,定义：在右半s平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半s平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传递函数。,以非最小相位惯性环节 和非最小相位一阶微分环节 为例进行分析。,例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。,设 ， 可计算出下表，其中 为对数坐标中 与 的几何中点。,由图可知最小相位
10、系统在具有相同幅频特性的一类系统中，当w从0变化至时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系(如 j1(w) )。,而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w)；,或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势不一致(如 j4(w) )。,综上所述，对于最小相位系统，其对数幅频特性的变化趋势和相频特性的变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或减少时，相频特性的角度也随之增加或减少），而非最小相位系统则不然。因此对于最小相位系统而言，由对数幅频特性即可唯一确定其相频特性。,设系统传递函数分母的阶次是n，分子的阶次是m，积分环节的
11、个数是v，对于最小相位系统，当 时，对数幅频特性的斜率为-20(n-m)dB/dec，相位等于-(n-m)*90，当 时，相位等于-v*90。,伯德证明，对于最小相位系统，对数相频特性在某一频率的相位角和对数幅频特性之间存在下述关系：,式中j (w0)为系统相频特性在观察频率w0处的数值，单位为弧度；u=ln(w/w0)为标准化频率；A=ln|G(jw)|；dA/du为系统自然对数幅频特性的斜率，当L(w)的斜率等于20dB/dec时，dA/du =1；函数,为加权函数，曲线如图,上述公式称为伯德公式。该式说明对于最小相位系统，其幅频特性与相频特性是紧密联系的，当给定了幅频特性，其相频特性也随
12、之而定，反之亦然。因此，可只根据幅频特性（或只根据相频特性）对其进行分析或综合；而非最小相位系统则不然，在进行分析或综合时，必须同时考虑其幅频特性与相频特性。,在u=0(w=w0)时 ；,在u=2.3，即在w0上下十倍频程处， ；,偏离此点，函数衰减很快。,即相频特性在w0处的数值主要决定于在w0附近的对数幅频特性的斜率。,在u=0.69（在w0上下倍频程处， ；,例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。,解：由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节； 在w=1处，L(w)=15dB，可得 20lgK=15，K=5.6 在w=2
13、处，斜率由-20dB/dec变为 -40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) 在w=7处，斜率由-40dB/dec变为 -20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1),例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示,试确定系统的传递函数。,解：由于低频段斜率为-40dB/dec所以有两个积分环节； 在w=0.8处，斜率由-40dB/dec变为 -20dB/dec，故有一阶微分环节(s/0.8+1) 在w=30处，斜率由-20dB/dec变为 -40dB/dec，故有惯性环节1/(s/30+1) 在w=50处，斜率由-40dB/dec变为 -60dB/dec，故有惯性环节1/(s/50+1),在w=4时，L(w)=0，这时可以不考虑转折频率在w=4以上的环节的影响,
