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1、解析几何-椭圆一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右顶点为A，B.P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当ab+ln|m|+ln|n|取得最小值时，椭圆C的离心率为()A. 15B. 22C. 45D. 322. 过椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A. (0,55B. 55,1)C. (0,22D. 22,1)3. 设F，B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦
2、点和上顶点，O为坐标原点，C是直线y=bax与椭圆在第一象限内的交点，若FO+FC=(BO+BC)，则椭圆的离心率是()A. 22+17B. 22-17C. 22-13D. 2-14. 已知F1，F2是椭圆与x2a2+y2b2=l(ab0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，且满足|AF1|=2|BF1|，|AB|=|BF2|，则该椭圆的离心率是()A. 12B. 33C. 32D. 535. 已知点P在以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，离心率为12的椭圆上.若过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点F1，与椭圆的另一交点为A.若PF2A的面积为12(F2为椭圆的另一焦点)，则
3、椭圆的方程为()A. x216+y212=1B. x212+y216=1C. x24+y23=1或x23+y24=1D. x216+y212=1或x212+y216=16. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的13，则该椭圆的离心率为()A. 13B. 12C. 23D. 347. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知a=2，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF2|=54，|BF2|=52，则椭圆C的离心率为()A. 66B. 12C. 22D. 328. 以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆
4、的离心率是()A. 13B. 33C. 34D. 2239. 椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上任一点，则|PF1|PF2|的取值范围是()A. (0,4B. (0,3C. 3,4)D. 3,410. 设椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为F(1,0)，点A(-1,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. 12,1)B. 13,12C. 15,14D. 12,2311. 已知动圆M与圆C1：x+12+y2=1外切，与圆C2：x-12+y2=25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )A.
5、x29+y28=1B. x28+y29=1C. x29+y2=1D. x2+y29=112. 设点P为椭圆C：x249+y224=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么GPF1的面积为()A. 24B. 12C. 8D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设F1，F2是椭圆E：x225+y216=1的左右焦点，P是椭圆E上的点，则|PF1|PF2|的最小值是_.14. 已知椭圆x24+y2m=1的离心率为22，则实数m=_15. 如图F1，F2是椭圆C：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1
6、，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的虚轴长为_16. 已知椭圆x2a+2+y2=1(其中a2)与双曲线x2b-y2=1有公共的焦点为F1，F2，设点P是椭圆和双曲线的一个交点，则PF1F2的面积是_三、解答题（本大题共4小题，共48分）17. 椭圆C：x24+y2=1的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为12的直线l与椭圆C交于P、Q两点(点P在第一象限)()求证：直线AP、BQ的斜率之和为定值；()求四边形APBQ面积的取值范围18. 已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10
7、，椭圆上不同的两点A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列()求该椭圆的方程；()求弦AC中点的横坐标19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过点A(-1,22)，B(62,12)，F为椭圆C的左焦点()求椭圆C的标准方程；()若点B为直线l1：x+y+2=0与直线l2：2x-y+4=0的交点，过点B的直线1与椭圆C交于D，E两点，求DEF面积的最大值，以及此时直线l的方程20. 已知点A，B是椭圆L：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点，点C是椭圆的上顶点，若该椭圆的焦距为23，直线AC，BC的斜率之积为-14(1)求椭圆L的
8、方程；(2)是否存在过点M(1,0)的直线l与椭圆L交于两点P，Q，使得以PQ为直径的圆经过点C？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由参考答案1. D2. A3. A4. B5. D6. C7. A8. D9. D10. C11. A12. C13. 1614. 2或815. 216. 117. (本小题满分12分)()证明：设直线l方程为：y=12x+b代入椭圆C：x24+y2=1并整理得：x2+2bx+2b2-2=0设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1x2=2b2-2x1+x2=-2b.(3分)从而kAP+kBQ=y1x1-2+y2-1x2=x1x2+(b-1)(x1+x2
9、-2)(x1-2)x2=2b2-2+(b-1)(-2b-2)(x1-2)x2=0，所以直线AP、BQ的斜率之和为定值0.(6分)()设C：x24+y2=1的左顶点和下顶点分别为C、D，则直线l、BC、AD为互相平行的直线，所以A、B两点到直线l的距离等于两平行线BC、AD间的距离d=21+14|PQ|=1+k2|x2-x1|=1+14|x2-x1|(9分)SAPBQ=12d|PQ|=|x2-x1|=8-4b2，又p点在第一象限，-1bb0)过点A(-1,22)，B(62,12)，F为椭圆C的左焦点1a2+12b2=132a2+14b2=1，解得a2=2，b2=1，椭圆C的标准方程为x22+y2
10、=1()点B为直线l1：x+y+2=0与直线l2：2x-y+4=0的交点，联立2x-y+4=0x+y+2=0，得B(-2,0)，设D(x1,y1)，E(x2,y2)，由题意设直线l的方程为x=my-2，代入椭圆方程得(m2+2)y2-4my+2=0，则=16m2-8(m2+2)=8m2-160，m22，y1+y2=4mm2+2，y1y2=2m2+2，SDEF=SBEF-SBDF=12|BF|y1-y2|=1218m2-16m2+2=2m2-2+4m2-224，当且仅当m2-2=4m2-2，即m2=6(满足0)时取得等号，DEF面积的最大值S=24，此时直线1的方程为x=6y-2，即y=66(x
11、+2)20. 解：(1)由题意可知，c=3，kAC=ba,kBC=-ba，有-b2a2=-14，即a2=4b2，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1(2)假设存在过点M(1,0)d的直线l与椭圆交于两点P、Q，使得以PQ为直径的圆经过点C，可得，CPCQ，若直线l的斜率为0，则A，B为点P，Q，此时cosACB=(3)2+(3)2-42332=-530，此时CP，CQ不垂直，不满足题意，因此可设直线l的方程为：x=my+1，联立x24+y2=1x=my+1，消x可得，(m2+4)y2+2my-3=0，则有y1+y2=-2mm2+4y1y2=-3m2+4.(8分)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由题意可知x1x20，因为CPCQ，则kCPkCQ=-1，即y1-1x1y2-1x2=-1，整理可得：(1+m2)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=0，将代入可得：-3(1+m2)m2+4-2m(m-1)m2+4+2=0，整理得3m2-2m-5=0，解得m=-1或者m=53，所以直线l的方程为：x+y-1=0或3x-5y-3=010
