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1、 2 天津一中、益中学校 2018-2019 高三年级四月考数学试卷（理） 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分 钟 第 I 卷（选择题 共 40分） 一选择题：共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是符 合题目要求的，将答案涂在答题卡上 1设集合 22,Ax xxR， 2 |, 12By yxx ，则 R CAB等于 AR B,0x xR x C 0 D 2设变量yx,满足约束条件： 3 1 23 xy xy xy .则目标函数yxz32 的最小值为 A6 B7 C8 D23 3执行如图所示的
2、程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n A5 B6 C7 D 8 4设函数( )sin()cos()(0,) 2 f xxx 的最小正 周期为,且()( )fxf x则 A( )yf x在 3 (,) 44 单调递增 B( )yf x在(0,) 2 单调递增 C( )yf x在 3 (,) 44 单调递减 D( )yf x在(0,) 2 单调递减 3 5设等比数列的 n a的前n项和是 n S，则“ 1 0a ”是 “ 23 SS ”的 A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 6已知函数 xx eexf )(，若cb a 3 log3，则 A)()()(
3、cfbfaf B)()()(afcfbf C. )()()(bfcfaf D)()()(afbfcf 7已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）左支上点B与右焦点F关于渐近线对称，且 4BF，则该双曲线的方程为 A1 4 2 2 y x B1 42 22 yx C.1 43 22 yx D4 22 yx 8己知函数Raaxxf,)( 3 在1 , 1上的最大值为)(aM ，若函数 txxMxg 2 )()(有 4 个零点，则实数t的取值范围为 A. 4 5 , 1 B. 1, C. 4 5 , 11, D. 2 , 11, 第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题
4、：共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填写在答题纸上 9若iaaz) 1() 1( 2 为纯虚数，其中Ra，则 ai ia 1 2 等于 10如图，半球内有一内接正四棱锥 S- ABCD，该四棱锥的体积为4 2 3 ， 则该半球的体积为 4 11二项式 n x x 2 2 的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值。则展开式中 x项的系数是 12由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 13设正实数nm,满足1, 2 1 nm，则 121 4 22 m n n m 的最小值为 14在ABCRt中，已知A为直角，aBC ，若长为
5、a2的线段PQ以点A为中点， 则CQBP 的最大值为 三解答题：共 6 个小题，总计 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15已知ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，且满足 sin(2) 22cos() sin AB AB A . （）求 a b 的值； （）若7, 1ca，求ABC的面积. 16英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周内所学单 词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同） （）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概 率； 5 （）某学生对后两天所学过的单词每个能默写
6、对的概率为 5 4 ，对前两天所学过的单词每 个能默写对的概率为 5 3 若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默 写对的单词的个数 的分布列和期望 17已知在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PAD是正三角 形，平面PAD平面GFEABCD、,分别是BCPBPA、的中点 （）求证：EF平面PAD； （）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小； （）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为 6 ，若存 在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由 6 18已知正项等比数列 n a，等差数列 n b满足7, 1 2211 baba，且
7、 2 a是 1 b与 2 3 b的等比中项 （）求数列 n a， n b的通项公式； （）设 nnn n n babc 2 ) 1(，求数列 n c的前n项和 n T 19如图已知椭圆)0 , 2(),0( 1 2 2 2 2 Aba b y a x 是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中 心O，且BABCOBOCBCAC2, 0. （）求椭圆的方程； （）设QP,为椭圆上异于,A B且不重合的两点，且PCQ的平分线总是垂直于 x 轴， 是否存在实数，使得ABPQ，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由. C y O A B x 7 20己知函数Rmmxxxf,ln)(. （）求)(xf的极
8、值； （）证明：0m时，)2( xfex （）若函数)()()(xfexxg有且只有三个不同的零点，分别记为 321 ,xxx，设 321 xxx 且 1 3 x x 的最大值是 2 e，证明： 31x x 1 )1(2 2 2 e e e 8 参考答案： 一、选择题： B B C D A C A C 二、填空题： 9i 10 42 3 11 15 2 12108 138 140 三解答题： 15 解析：（） sin(2) 22cos() sin AB AB A ， sin(2)2sin2sincos()ABAAAB， sin()2sin2sincos()AABAAAB，-2 分 sin()c
9、ossincos()2sinABAAABA， sin2sinBA，-4 分 2ba，2 b a -6 分 （）17ac，2 b a ，2b ，-8 分 222 1471 cos 242 abc C ab ， 2 3 C .-11 分 1133 sin1 2 2222 ABC SabC ，即ABC的面积的 3 2 .-13 分 9 16 （）由题意可得可取 0，1，2，3， 则有P(=0) 2 122 ( ) 55125 7 分 P(=1) 12 2 4121319 C( ) 55555125 ， P(=2) 21 2 4241356 ( )+C 55555125 ， P(=3) 2 4348
10、( ) 55125 10 分 所以的分布列为： 11 分 故E=0 2 125 +1 19 125 +2 56 125 +3 48 125 = 11 5 13 分 0 1 2 3 P 2 125 19 125 56 125 48 125 10 17 11 18 又，则：，解得或 因为中各项均为正数，所以，进而 -3 分 故-5 分 （2）设-6 分 12 设数列的前 项和为，数列的前 项和为， 当 为偶数时， 当 为奇数时， ，-8 分 而 ， 则， 由-得： ， ，因此， -11 分 综上：-13 分 19 C y O A B x 13 解（I）0,AC BC ,90ACBCACB 又2,O
11、COBBCBA即2BCAC，AOC是等腰直角三角形 2 分 (2,0),A (1,1)C而点C在椭圆上， 22 11 1,2,a ab 2 4 3 b 所求椭圆方程为 22 3 1 44 xy 4 分 （II）对于椭圆上两点P、Q，PCQ的平分线总是垂直于x轴 PC与CQ所在直线关于1x 对称，设(0 PC kk k且1)k ，则 CQ kk，5 分 则PC的直线方程1(1)(1)1yk xyk x QC的直线方1(1)(1)1yk xyk x 将代入 22 3 1 44 xy 得 222 (13)6 (1)3610kxk kxkk (1,1)C在椭圆上，1x 是方程的一个根， 2 2 361
12、 1 13 pp kk xx k 7 分 以k替换k，得到 2 2 361 31 Q kk x k .-8 分 2 22 22 624 2 ()2 1 1313 1212 3 1313 pQpQ PQ pQpQ kk kk yyk xxk kk k kk xxxx kk -10 分 而 1 , 3 AB k, PQAB kk PQAB，存在实数，使得PQAB 11 分 2 2 222 2222 2 2 1241601602 30 |()()()() 1 1313(13)3 96 pqpq kkk PQxxyy kkk k k 当 2 2 1 9k k 时即 2 13 , 33 kk 时取等号， 又|10AB ， max 2 30 2 3 3 310 14 分 14 20 （1）函数的定义域为(0，+). 由已知可得-
