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1、专题27 快速解决圆锥曲线的方程与性质问题一【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。一【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距2椭圆的标准方程(1)，焦点，其中(2)，焦点，其中3椭圆的几何性质以为例(1)范围：(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距.(4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆(5) 的关系
2、：.4双曲线的定义： 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距5双曲线的标准方程(1)，焦点，其中(2)，焦点，其中6双曲线的几何性质以为例(1)范围：(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距.(4)离心率(5) 渐近线方程.7抛物线的定义： 练习3如图，双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则（ ）A1 B2 C D【答案】A【解析】因为是的中点，是的中点，所以；又，所以有，所以，所以，由双曲线的定义知：，所以.故选A（三
3、）抛物线的性质例3已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为( )A3 B1 C2 D【答案】B【解析】由于为中点，根据抛物线的定义，解得，抛物线方程为.设，则，两式相减并化简得，即直线的斜率为，故选B.练习1如图点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（ ） A B C D【答案】C【解析】抛物线的准线，焦点，由抛物线定义可得，圆的圆心为，半径为4，的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，故选 C.练习2已知P为抛物线y24x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|d的最小
4、值为( )A4 B C1 D1【答案】D【解析】抛物线的焦点，准线如图所示，过点作交轴于点，垂足为，则，故选D练习3如图，已知，分别为抛物线的顶点和焦点，斜率为的直线经过点与抛物线交于，两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于点，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由抛物线的几何性质可知：，设，由，知，联立直线与抛物线的方程消有，由韦达定理知，所以，故选B.（四）椭圆与双曲线例4若椭圆与双曲线有公共的焦点，点是两条曲线的交点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（ ）A B C D【答案】B【解析】不妨设P在第一象限，再设PF1s，PF2t，由椭圆的定义可得s+t2a1，由双曲线的定义可
5、得st2a2，解得sa1+a2，ta1a2，由F1PF2，可得，由e1e21，即，得：，解得：（舍），或，即故选：B练习1如图，离心率为2的双曲线与椭圆有共同的焦点，分别是，在第一、三象限的交点，若四边形是矩形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】设|PF1|x，|PF2|y，点P为椭圆上的点，|PF1|+|PF2|2a=x+y；又四边形PF1QF2为矩形，即x2+y2（2c）2=4，设双曲线C1的实轴长为2m，焦距为2c，且=2则2m|PF1|PF2|x-y，2+2可得x2+y22=4将代入中,椭圆C2的离心率e=，故选：D练习2已知为椭圆的左顶点,该椭圆与双曲线的渐近线在
6、第一象限内的交点为，若直线垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为A B C D【答案】D练习3已知是椭圆和双曲线的公共焦点，点是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为( )A B C D【答案】D【解析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由题意，设点P是椭圆与双曲线的第一象限内的交点，且，则根据椭圆和双曲线的定义可得 ，则，又由，在中，由正弦定理得，即，故选D.（五）圆锥曲线与内切圆例5已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点与椭圆交于。若的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为( )A B C D【答案】D【解析】结合题意可知结
7、合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的性质,可得,由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得到,解得,故选D.练习1过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】圆C1：（x+4）2+y24的圆心为（4，0），半径为r12；圆C2：（x4）2+y21的圆心为（4，0），半径为r21，设双曲线x21的左右焦点为F1（4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2|PN|2（|PF1|2r12）（|PF2|2r22）（|PF1|24）（|PF2|2
8、1）|PF1|2|PF2|23（|PF1|PF2|）（|PF1|+|PF2|）32a（|PF1|+|PF2|32（|PF1|+|PF2|）322c328313当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13故选：D练习2已知双曲线的左右焦点分别为，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为A8 B9 C10 D11【答案】B【解析】由题意可得2a6，即a3，渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线方程为y21，焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF2|2a+|MF1|6+|MF1|，由圆E：x2+（y）21可得E（0，），半径r1，|MN|+|
9、MF2|6+|MN|+|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|4，则则|MN|+|MF2|的最小值为6+419故选：B（六）圆锥曲线与圆例1已知抛物线，圆，过点作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点（如图所示），则的值正确的是 ( )A等于 B最小值是 C等于 D最大值是【答案】C【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为，代入抛物线方程和圆的方程，求得的纵坐标分别为，故.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，.根据抛物线的定义以及圆的半径可知.故选C. 练习2已知椭圆，与双曲线具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交
10、于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若F1PF2，则的最小值是A B2 C D【答案】A【解析】根据题意，可知，解得，根据余弦定理，可知，整理得，所以，故选A.练习3设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=|PF2| ,则椭圆离心率的取值范围为()A B C D 【答案】B【解析】设F1（-c，0），F2（c，0），由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，可设|PF2|=t，可得|PF1|=t，即有（+1）t=2a由F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为（2+1）t2=4c2，由2，可得e2=,令m=+1，可得=m-1，即有=2（）2+
11、,由，可得m3，即，则m=2时，取得最小值；m=或3时，取得最大值即有e2，解得e故选：B练习4若存在直线l与曲线C1和曲线C2都相切，则称曲线C1和曲线C2为“相关曲线”，有下列四个命题：有且只有两条直线l使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”；曲线C1：和曲线C2：是“相关曲线”；当ba0时，曲线C1：和曲线C2：一定不是“相关曲线”；必存在正数a使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】对于，由题意得曲线C1是以(0,0)为圆心，2为半径的圆；曲线C2是以(2,1)为圆心，半径为1的圆两圆的圆心距为，由于，故两圆相交，因此有两条外公切线，故正确对于，由题意得曲线C1，C2是共轭双曲线（它们各自在x轴上方的部分），具有相同的渐近线，因此两曲线没有公切线，故不正确对于，因为ba0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故正确对于，当a=1时，曲线C1：，此时直线与曲线C1和曲线C2都相切，故正确综上可得有三个命题正确学_科网故选C
