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1、诸暨市2018-2019学年第一学期期末考试试题高二数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程可直接写出准线方程.【详解】因为抛物线的方程为，所以，所以其准线方程为.故选A【点睛】本题主要考查抛物线的准线，属于基础题型.2.已知，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由不等式性质，即可判断出结果.【详解】因为，由不等式性质易得：.故选B.【点睛】本题主要考查不等式性质，也可用特殊值法逐项排除，属于基
2、础题型.3.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由含绝对值不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，所以，因此.故选A【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，求解时通常去绝对值得到不等式组；也可两边同时平方进而转化为一元二次不等式求解，属于基础题型.4.直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，下列说法正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系逐项判断即可.【详解】A.如果直线，都与平面相交，且直线，异面，则其投影可能互相平行，所以A错；B.在正方体中与垂直，但与不垂直，即投影垂直
3、，但原直线不一定垂直，所以B错；C.当空间中的两条直线互相平行时，它们在同一投影面上的投影都是相互平行或重合的，又因为直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，说明，不重合，所以，只能平行，所以C正确；D.时，与可能是异面，故D错；故选C【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，以及直线在面上的投影问题，结合空间几何体分析即可，属于基础题型.5.已知函数，函数的最小值等于（ ）A. B. C. 5 D. 9【答案】C【解析】【分析】先将化为，由基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，当且仅当，即时，取等号.故选C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不
4、等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.6.某几何体的正视图如图所示，这个几何体不可能是（ ）A. 圆锥与圆柱的组合 B. 棱锥与棱柱的组合C. 棱柱与棱柱的组合 D. 棱锥与棱锥的组合【答案】D【解析】【分析】直接从正视图判断即可.【详解】正视图由一个三角形和一个矩形拼接而成，因此上方可能是一个棱锥、圆锥、或三棱柱；下方可能是一个棱柱或圆柱；故这个几何体不可能是棱锥与棱锥的组合.故选D.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图还原几何体是常考题型，熟记简单几何体的三视图即可，难度不大.7.如图，正三棱柱中，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答
5、案】C【解析】【分析】记分别为直线的中点，取中点，连结，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果.【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，所以在正三棱柱中，平面；又是的中点，所以,所以平面，故即是与平面所成的角；设，则，所以.故选C.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型.8.如图，双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由是的中点，是的中点,可得,；再由勾股定理求出，进而表示出，再由双曲线的定义即可求出结果.【详解】因为是的中点，是的
6、中点，所以；又，所以有，所以，所以，由双曲线的定义知：，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的定义，熟记双曲线定义结合题意即可求解，属于常考题型.9.过双曲线的右焦点作斜率为的直线，交两条渐近线于，两点，若，则此双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意求出直线的方程，再与双曲线的渐近线方程联立求出A,B两点的横坐标，根据，即可求出结果.【详解】设双曲线右焦点为，则过该点斜率为的直线方程为：；又双曲线的渐近线的方程为：，所以由题意，联立可得；联立可得；因为，所以,解得，所以离心率.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，只需要直线与双曲线渐近线方程
7、联立，求出交点坐标，根据题中条件，即可求解，属于常考题型.10.正四面体的棱与平面所成角为，其中，点在平面内，则当四面体转动时（ ）A. 存在某个位置使得，也存在某个位置使得B. 存在某个位置使得，但不存在某个位置使得C. 不存在某个位置使得，但存在某个位置使得D. 既不存在某个位置使得，也不存在某个位置使得【答案】B【解析】【分析】由线面垂直与线面平行的判定，结合反证法，即可得出结果.【详解】当正四面体过点的高与平面垂直时，平面平面，所以平面；若平面，因为正四面体中，所以平面，或平面，此时与平面所成角为0，与条件矛盾，所以不可能垂直平面；故选B【点睛】本题主要考查直线与平面平行与垂直的判定，
8、在验证与平面是否垂直时，可借助反证的思想来解决，属于中档试题.二、填空题（本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由向量运算的坐标表示求出的坐标，再由向量模的坐标运算即可求出.【详解】因为，所以，所以.故答案为(1). (2). 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，以及向量模的坐标运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.12.南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数表示近似值的方法，理论依据是：若，则.例如，使用一次“调日法”得到分数，范围就缩小到.若我们要求近似值与的误差小于0.1，则至少还要使用
9、“调日法”_次，相应得到的的近似分数是_.【答案】 (1). 二 (2). 【解析】【分析】依题意按顺序使用调日法，得到的近似数，判断与的大小关系，直到误差小于0.1即可.【详解】第二次使用调日法可得：，所以，此时，所以需要再次使用调日法，可得：，所以，此时，满足题意，所以又使用了2次调日法，且此时的近似分数是.故答案为(1). 二 (2). 【点睛】本题主要考查归纳推理，依题意合理递推即可，属于基础题型.13.若抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是_.【答案】或【解析】【分析】先求出直线与轴以及轴交点，即抛物线的焦点，从而可写出抛物线方程.【详解】因为直线与轴交点为，与轴交点为，所以当
10、抛物线焦点为时，抛物线方程为；当抛物线焦点为时，抛物线方程为.故答案为或【点睛】本题主要考查求抛物线的标准方程，熟记抛物线标准方程的几种形式即可求出结果，属于基础题型.14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为_，表面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先由几何体的三视图判断该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，由公式计算表面积和体积即可.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，且球的半径为1，三棱柱的底面是直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以体积为；表面积为；故答案为(1). (2). 【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何
11、体的表面积和体积，先根据三视图确定几何体的形状，再由面积公式和体积公式求解即可，属于常考题型.15.正方体的棱长为4，点是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则_.【答案】1【解析】【分析】由空间向量的方法，根据异面直线与所成角的余弦值为，即可求出的长.【详解】以为坐标原点，以方向为轴，方向为轴,方向为轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以，设异面直线与所成的角为，则，解得，即.故答案为1【点睛】本题主要考查由异面直线所成的角确定点的位置的问题，由空间向量的方法建系求解即可，属于基础题型.16.已知.若，则当取最大值时，_；若，则的最小值_.【答案】 (1). (2). 9【解析】【分析】先
12、将化为，即可求出的最大值，以及此时的；由化为，结合题意求出此时的范围，再由用表示出，代入，结合基本不等式即可求解.【详解】由可得，即，又，当且仅当即时，取等号；所以，整理得：，因为，所以，即最大值为，联立得；由得，由得，所以，又由得，所以，当且仅当，即时，取等号.故答案为(1)；（2）【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值的问题是比较常见的一种题型，有时需要借助基本不等式的变形，所以需要考生灵活运用基本不等式来处理，属于中档试题.17.已知椭圆的离心率大于，是椭圆的上顶点，是椭圆上的点，则的最大值_.【答案】【解析】【分析】由椭圆的参数方程设点，再由椭圆标准方程写出点坐标，
13、由两点间距离公式，即可表示出，求解即可.【详解】因为椭圆的上顶点为，由椭圆的参数方程设，所以，所以当时，取最大值为. 故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的参数方程的应用，由参数方程设出点的坐标，由两点间距离公式表示出，即可求其最值，属于中档试题.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连
14、续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？【答案】（1）（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【解析】【分析】（1）依题意确定等量关系即可列出，所应该满足的条件；（2）由题意得出目标函数，结合(1)中约束条件作出可行域，结合可行域即可求出最值.【详解】（1）由题意可得：；（2）收视观众数为万，则，所以，因此直线在y轴截距最大时，取最大值；画出可行域易知当，时，有最大值，最大值是200，收视观众200万.每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，即可求解，属于基础题型.19.如图，三棱锥中，分别是，的中点.（1）求证平面；（2）若，平面平面，求证：.【答案】(1)见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明平面；（2）先由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，从而可得.【详解】（
