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1、专题强化训练(三)概率(30分钟60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列试验中,是古典概型的有()A.种下一粒种子,观察它是否发芽B.从规格直径为(2500.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径d,检测其是否合格C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶【解析】选C.只有C具有古典概型的有限性与等可能性.2.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45【解析】选C.设其中一段AC长为x cm,则另一段BC长为(12-x)cm,其中0x12.由题意x(1
2、2-x)320x4或8x12,故概率为812=23.3.有四个游戏盘,如图所示,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖,小明希望中奖机会大,他应当选择的游戏盘为()【解析】选A.A中P1=38,B中P2=26=13,C中设正方形边长为2,则P3=4-124=4-4,D中设圆直径为2,则P4=1221=1.在P1,P2,P3,P4中,P1最大.4.在3路、6路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3路或6路.已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需车的概率为()A.0.
3、20B.0.60C.0.80D.0.12【解析】选C.因为车站只停靠一辆公共汽车,所以3路车停靠与6路车停靠为互斥事件,由互斥事件加法公式有0.20+0.60=0.80.5.如图,在一个不规则多边形内随机撒入200粒麦粒(麦粒落到任何位置可能性相等),恰有40粒落入半径为1的圆内,则该多边形的面积约为()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.P=12S=40200,所以S=5.6.在正方体ABCD -A1B1C1D1中随机取点,则点落在四棱锥O -ABCD内(O为正方体的体对角线的交点)的概率是()A.13B.16C.12D.14【解析】选B.设正方体的体积为V,则四棱锥O-ABCD的体积为V
4、6,所求概率为V6V=16.二、填空题(每小题4分,共12分)7.在区间-3,3上任取一个实数,所得实数是不等式x2+x-20的解的概率为.【解析】由x2+x-20,得-2x1,所求概率为1-(-2)3-(-3)=12.答案:128.点A为周长等于3的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为.【解析】设事件M为“劣弧AB的长度小于1”,则满足事件M的点B在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上,由几何概型的概率公式得P(M)=23.答案:239.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为45,那么所选3人中都是男生的概率为
5、.【解析】设A表示3人中至少有1名女生,B表示3人中都是男生,则A,B为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=15.答案:15三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知集合A=-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8,在平面直角坐标系中,点(x,y)的坐标xA,yA,且xy,计算:(1)点(x,y)不在x轴上的概率.(2)点(x,y)正好在第二象限的概率.【解析】点(x,y)中,xA,yA,且xy,基本事件有:(-9,-7),(-9,-5),(-9,-3),(-9,-1),(-9,0),(-9,2),(-9,4),(-9,6),(-9,8),(-7,-9),(-7,-5),(-7,
6、-3),(-7,-1),(-7,0),(-7,2),(-7,4),(-7,6),(-7,8),(8,-9),(8,-7),(8,6)共有90个,且每一种结果出现的可能性相等.(1)设事件A为“点(x,y)不在x轴上”,不符合要求的有(-9,0),(-7,0),(-5,0),(-3,0),(-1,0),(2,0),(4,0),(6,0),(8,0)共9种,所以符合要求的有90-9=81个,即事件A包含的基本事件个数为81.因此,事件A的概率是P(A)=8190=0.9.(2)设事件B为“点(x,y)正好在第二象限”,则x0,则符合要求的基本事件为:(-9,2),(-9,4),(-9,6),(-9
7、,8),(-7,2),(-7,4),(-7,6),(-7,8),(-1,2),(-1,4),(-1,6),(-1,8)共20个,即事件B包含的基本事件个数为20.因此,事件B的概率是P(B)=2090=29.11.一个盒子里装有完全相同的10个小球,分别标上1,2,3,10这10个数字,现随机地取两个小球.(1)不放回地取出小球,求两个小球上的数字为相邻整数的概率.(2)有放回地取出小球,求两个小球上的数字为相邻整数的概率.【解析】随机取出两个小球,记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”,可能结果为(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(9,10),(10,
8、9),共18种.(1)如果小球是不放回地取出,按取出顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有9种可能,共有109=90种可能结果,因此P(A)=1890=15.(2)如果小球是有放回地取出,按取出顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有10种可能,共有1010=100种可能结果,因此P(A)=18100=950.12.(2018北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一
9、人,估计其分数小于70的概率.(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数.(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【解析】(1)由频率分布直方图知,分数小于70的频率为1-(0.04+0.02)10=0.4,故从总体400名学生中随机抽取1人,其概率为0.4.(2)由频率分布直方图知分数在5090之间的人数为100(0.01+0.02+0.04+0.02)10=90(人),由分数小于40的学生有5人,所以分数在区间40,50)内的人数为100-90-5=5(人).(3)由频率分布直方图知分数不小于70的共60人,由已知得男女各占30人,从而样本中男生有60人,女生有40人,故总体中男生与女生的比例为6040=32.
