广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学（文）试题（精品解析）

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1、广东省华附、省实、广雅、深中广东省华附、省实、广雅、深中 20192019 届高三上学期期末联考届高三上学期期末联考 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.若集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简，再由交集的定义求可得答案. 【详解】解：1， ， 故 故选：C 【点睛】本题主要考查集合交集的运算，先化简 是解题的关键. 2.已知 为虚数单位，若，则复数 的模等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 结合复数的四则运算,计算复数 z，计算模长，即

2、可。 【详解】，故选 D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等。 3.设 ， 是非零向量，记 与 所成的角为 ，下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 结合题目式子，得出等价于非零向量 与 同向共线，即可。 【详解】等价于非零向量 与 同向共线，故选 B. 【点睛】本道题考查了向量共线判定，考查了充要条件判定,关键理解等价于非零向量 与 同向共线，难 度中等。 4.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市 1 月至 8 月的空气质量检测 情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级

3、，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种 说法正确的是（ ） 1 月至 8 月空气合格天数超过 20 天的月份有 5 个 第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 8 月是空气质量最好的一个月 6 月的空气质量最差 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 在 A 中，1 月至 8 月空气合格天数超过 20 谈的月份有：1 月，2 月，6 月，7 月，8 月， 共 5 个，故 A 正确； 在 B 中，第一季度合格天数的比重为； 第二季度合格天气的比重为，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降 了，所以 B 是正确的； 在 C 中，8 月空气质量合格天气达

4、到 30 天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的； 在 D 中，5 月空气质量合格天气只有 13 天，5 月份的空气质量最差，所以是错误的， 综上，故选 A. 5.若函数是偶函数，则的单调递增区间是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由是偶函数，可得 m=0，可得其单调递增区间. 【详解】解：是偶函数； ； ； 的单调递增区间为 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的性质，单调性、奇偶性，根据 是偶函数求出是解题的关键. 6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马， 劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从

5、双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌 马获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果. 详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为 a,b,c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为 A,B,C，由题意 可知，可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有 9 种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有 3 种，则田忌马获胜的概率为.本题选择 A 选项. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总 数较少时，用列举法把所有基本事件

6、一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分 排列与组合，以及计数原理的正确使用. 7.若函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 代入特殊值法，分别代入，排除各个选项，即可。 【详解】由可排除 B、D，由可排除 C，故选 A. 【点睛】本道题考查了三角函数的解析式的计算，难度中等。 8.若 ， 满足约束条件，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】 结合不等式组，绘制可行域，计算最值，即可。 【详解】 画出可行域，数形结合可得在处取得最优解，代入得最小值为

7、 4，故选 C 【点睛】本道题考查了线性规划计算最值问题，关键绘制出可行域，计算最值，难度中等。 9.等比数列中，是关于x的方程的两个实根，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算 ，代入，计算式子，即可。 【详解】是关于x的方程的两实根，所以，由得 ，所以，即，所以.故选 B 【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等。 10.若函数有 3 个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 结合题意，将零点问题转化为函数交点问题，计算 a

8、的范围，即可。 【详解】 时，由得（画图确定只有两个解） ，故有 3 个零点等价于 有 1 个零点，画出的图像，数形结合可得实数 的取值范围是，故 选 B. 【点睛】本道题考查了函数的性质，考查了数形结合思想，难度中等。 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，计算表面积，即可。 【详解】该几何体是一个四棱锥，在长方体中画出该四棱锥如图， 则， ， 则. 故选 A. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，考查了椎体表面积计算方法，难度中等。 12.设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点

9、 P，使线段 的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得 ， ，设点，由中点公式可得线段的中点 ，可得线段的斜率与 的斜率之积等于，可得，可得 e 的范围. 【详解】解：由题意得 ， ， 设点， 则由中点公式可得线段的中点 ， 线段的斜率与的斜率之积等于， 即， ， ， ，或舍去 ， 又椭圆的离心率 ， 故， 故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的相关问题，根据题意列出不等式是解题的关键. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.函数在处的切线方程是_.(其中

10、 为自然对数的底数) 【答案】 【解析】 【分析】 求导，计算斜率，计算切点坐标，结合直线点斜式计算方法，即可。 【详解】，故，切点为，故切线方程为，即. 【点睛】本道题考查了过曲线一点的切线方程计算方法，关键结合导数计算斜率，计算切点的坐标，计算直线 方程，难度中等。 14.已知双曲线的离心率为 2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线 的标准方程是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 结合离心率计算公式以及点到渐近线距离公式，计算 a,b，即可。 【详解】由已知得，一条渐近线方程为，根据焦点到渐近线距离，则，故双曲 线 的标准方程是. 【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了点到直线

11、距离公式，考查了双曲线方程计算方法，难度中等。 15.等差数列的前n项和为，对一切恒成立，则 的取值范围为 _. 【答案】 【解析】 【分析】 结合等差数列性质，得出首项和公差，计算通项，求和，建立不等式，构造函数，计算最值，即可。 【详解】， 所以， ， 由得， 由函数的单调性及知， 当或时，最小值为 30，故. 【点睛】本道题考查了等差数列的性质，考查了函数计算最值问题，难度偏难。 16.体积为的正四棱锥的底面中心为 ，与侧面所成角的正切值为，那么过的各顶点的 球的表面积为_. 【答案】 【解析】 【分析】 结合已知条件，计算该四棱锥的高，构造直角三角形 EOB，结合勾股定理，计算半径，计

12、算表面积，即可。 【详解】如图，取的中点为 ，连接， 则为与侧面所成的角，由. 可设，则，故， 得， ， 设球半径为 ，则，即， 解得，. 【点睛】本道题考查了球表面积计算公式，考查了运用勾股定理解三角形，关键构造直角三角形 EOB，建立方 程，即可，难度中等。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题）小题） 17.已知分别是锐角的内角的对边，. (1)求 ； (2)若，且边上的高为，求的周长. 【答案】 （1）（2）10+2 【解析】 【分析】 （1）利用三角形三角和关系以及正弦两角和公式，展开题目式子，计算角 A，即可。 （2）结合三角形面积计算 公式，建立等式，计算 c，

13、结合余弦定理，计算 a，即可得出周长。 【详解】(1)因， 故， ， ， ， 因为为锐角三角形，故为锐角， ，得， 故 . （或， 因，故，）. (2)由的面积，得 所以的周长为. 【点睛】本道题考查了正弦两角和公式，考查了余弦定理，考查了三角形面积计算公式，难度中等。 18.如图，在三棱柱中， 为的中点，点 在平面内的射影 在线段上. (1)求证：； (2)若是正三角形，求三棱柱的体积. 【答案】 （1）见证明；(2) 【解析】 【分析】 （1）分别证明和，结合直线与平面垂直判定，即可。 （2）法一：计算，结合 和，即可。法二 :计算，结合 ，计算体积，即可。法三：结合，计算结果， 即可。

14、【详解】(1)证明：设点 在平面内的射影为 ， 则，且，因，所以. 在中， 则，在中， 则， 故，故. 因，故. (2)法一、， 由(1)得，故是三棱锥的高， 是正三角形， ， ， 故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为 . 法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样， 故， 故， 由(1)得，故是四棱柱的高， 故， 故，故三棱柱的体积为 . 法三、在三棱锥中，由(1)得，是三棱锥的高，6 分 记 到平面的距离为， 由得，即， 为的中点，故 到平面的距离为， . 故三棱柱的体积为 . 【点睛】本道题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大。 19.为提倡节能减排，同时减轻居民负

15、担，广州市积极推进“一户一表”工程 非一户一表用户电费采用“合表电价” 收费标准：元 度 “一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其 11 月到次年 4 月起执行非夏季标准如下： 第一档第二档第三档 每户每月用电量 单位： 度 电价 单位：元 度 例如：某用户 11 月用电 410 度，采用合表电价收费标准，应交电费元，若采用阶梯电价收费 标准，应交电费元 为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市 100 户的 11 月用电量，工作人员已经将 90 户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后 10 户的月用电量 单位：度 为： 88、268、370、140、440、420、5

16、20、320、230、380 （1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图； 根据已有信息，试估计全市住户 11 月的平均用电量 同一组数据用该区间的中点值作代表 ； 设某用户 11 月用电量为 x 度，按照合表电价收费标准应交元，按照阶梯电价收费标准应交元，请 用 x 表示和，并求当时，x 的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于的 用户带来实惠？ 【答案】 （1）见解析（2）324 度 （3） 的最大值为 423，估计“阶梯电价”能给不低于的用户带来实惠 【解析】 【分析】 （1）根据题意写出频率分布表，画出频率分布直方图即可； （2）根据数据，同一组数据用该区间的中间值代表，计算 11 月的平均用电量即可； (3)可得，由题列不等式，计算可得 x 的取值