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1、广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第二次联考试题 理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案【详解】z1=2+ai（aR），z2=12i，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题2.设全集，集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
2、】根据并集的定义求得AB，再根据补集的定义即可求解【详解】集合A=x|1x5，集合B=x|2x4，AB=x|2x5，=x|5x2，故选：B【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题3.中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（ ）A. 36里 B. 24里 C. 18里 D. 12里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公
3、比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程【详解】记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，=12（里）故选：D【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：化基本量求通项求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解化基本量求特定项利用通项公式或者等比数列的性质求解化基本量求公比利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解化基本量求和直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解4.函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
4、利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论【详解】由（nZ），可得x（nZ），令n=k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是故选：B【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有 且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】A根据复合命题真假关系进行判断即可；B根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；C根据全称
5、命题的否定是特称命题进行判断；D根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；对于C，命题“nN*，f（n）N*且f（n）n”的否定形式是“n0N*，f（n0）N*或f（n0）n0”，错误；对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命
6、题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解7.如图所示，在ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
7、【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值【详解】=2xyC，F，D三点共线，2x+y=1即y=12x由图可知x0=令f（x）=，得f（x）=，令f（x）=0得x=或x=（舍）当0x时，f（x）0，当x时，f（x）0当x=时，f（x）取得最小值f（）=3+2故选：A【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题8.已知是定义域为的奇函数，满足, 若，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和【详解】f
8、（x）是定义域为（，+）的奇函数，可得f（x）=f（x），f（1x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（x），即f（x+2）=f（x），进而得到f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（1）=f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）=5040+2+0=2故选：B【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，
9、则的取值不可能为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由f（x）=2sinx可得，是函数的递增区间，结合已知可得，可解得0，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0，进而得解【详解】f（x）=2sinx，是函数的递增区间，且，又函数在上递增，得不等式组：，又0，0，又在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可知x=2k+，kZ，即函数在x=+处取得最大值，可得0，综上，可得，故选：D【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断，是解题的关键，属于中档题10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： ,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于
10、分组序列中( )A. 第组 B. 第组 C. 第组 D. 第组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为 则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组 选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。如：,依此类推，其中，且 设则A. 5 B. 6 C. 7 D. 9【答案】C【解析】【分析】根据1=+，结合裂项相消法，可得+=，解
11、得m，n值，根据奇函数的定积分为零，即可得到结果.【详解】2=12，6=23，30=56，42=67，56=78，72=89，90=910，110=1011，132=1112，1=+=（1）+（）+，+=m=13，n=20，即故选：C【点睛】本题考查归纳推理，考查定积分知识，考查学生的逻辑思维能力与计算能力，求得m，n的值是关键12.已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中e271828 为自然对数的底数），则实数的取值范围是( )A. （， B. （， C. ，） D. ，）【答案】D【解析】【分析】化简不等式可得mex，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可【详解】
12、当x0时，由x2mxexmex0，可得mex（x0），显然当m0时，不等式mex（x0），在（0，+）恒成立，不符合题意；当m0时，令f（x）=mex，则f（x）在（0，+）上单调递增，令g（x）=，则g（x）=0，g（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=m0，g（0）=0，且f（x）g（x）有两个正整数解，则，即，解得m故选：D【点睛】本题考查了不等式整数解问题，考查函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设变量满足约束条件：，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】作出可行域，z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得
13、【详解】作出约束条件所对应的可行域（如图ABC），而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OC或OA=2，故答案为：8【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.已知向量夹角为 ，且，则_【答案】【解析】【分析】把已知式子两边平方，结合数量积的定义可得关于的一元二次方程，解方程可得【详解】，=10，代入数据可得41+41+=10，化简可得+6=0，解得=，或3（负数舍去）故答案为：【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及数量积和向量的夹角，属基础题15.,若函数恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可【详解】函数的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则13或4故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力16.如图,正方体的棱长为,动点在对角线上,过点作垂直于的平面,记这
