2017-2018北京西城161高三上期中数学（精品解析）

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1、北京一六一中学北京一六一中学 2017 届高三年级第一学期期中考试届高三年级第一学期期中考试 理科数学试题理科数学试题 一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项的一项 1.已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意得， ，所以。选：A。 2.极坐标方程和参数方程（ 为参数）所表示的图形分别是（ ） A. 直线、直线 B. 圆、圆 C. 直线、圆 D. 圆、直线 【答案】D 【解析】 由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图

2、形为圆； 由消去参数 整理得，故参数方程表示的图形为直线。选 D。 3.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由条件得，所以 。选 A。 4.若非零平面向量 ， 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由得，所以，整理得，所以。选 D。 5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2） ， （2,2,0） ， （1,2，1） ， （2,2,2） ，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三

3、视图的画图规则，可得三棱锥的正视 图和俯视图分别为。选 D。 6.如图，小明从街道的 处出发，先到 处与小红会合，在一起到位于 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明 到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意得，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短路程有条，再从 F 处到 G 处最短路程有条，故小明从老年公 寓可以选择的最短路径条数为条。选 B。 7.设抛物线的焦点为 ，过点的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于 ， ，则与的面积之比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 抛物线方程为， 抛物线的焦点 坐标为，准线

4、方程为。 如图，设，过 A,B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线的定义可得，。 将代入得， 点 的坐标为。 直线 AB 的方程为，即， 将代入直线 AB 的方程整理得，解得或（舍去） ， ，。 在中， , 。选 C。 点睛：与抛物线有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，特别是与焦点弦有关的问题更是这样， “看到 准线想焦点，看到焦点想准线” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径由于抛物线的定义在运用上有 较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度 8.经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量） ，而用横轴来表示产品数量（因变量） 某 类产品的市场供求关系在

5、不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产 品价格低于均衡价格时，需求量大于供应量，价格会上升为；当产品价格高于均衡价格时，供应量大 于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格能正确表示上述供求关系 的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为当产品价格 P1低于均衡价格 P0时，需求量大于供应量，故可排除 A、D； 且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除 C，选 B。 点睛：本题属于识图的问题，解题的关键是读懂题意、看准图形，解答本题时容易出错，其中的原因就是对图 形和题意的不理解。解题时要

6、注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析时应由 y 轴分析 x 轴， 并借助排除法求解 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 9.已知圆 与直线及都相切，圆心在直线上，则圆 的方程为_ 【答案】 【解析】 依题意可得圆心到直线的距离相等，所以圆心在于这两条直线平行且与这两直线距离相等的直 线上。而圆心在直线上，所以圆心是直线和的交点，而半径长为直线 到直线的距离，所以圆方程为 10.的展开式中，的系数是_ （用数字填写答案） 【答案】 【解析】 二项式展开式的通项为， 令得。 故的系数为。 答案： 11.双曲线的右焦点 坐标为_，过右焦

7、点 且平行于该双曲线渐近线的直线方程是 _ 【答案】 (1). (2). 或 【解析】 由题意知，所以双曲线的右焦点 坐标为； 又双曲线的渐近线方程为，故过右焦点 且平行于该双曲线渐近线的直线方程为，即 或. 答案：(1). (2). 或。 12.函数的图象如图所示，则_，_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 由图象知函数的周期，所以，。 因为点在函数图象上，故，。 又，所以。 答案：(1). (2). 13.已知若函数只有一个零点，则 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 因为只有一个零点， 所以方程只有一个实数根， 设, 则两函数的图象只有一个公共点。 画出函数 y=f(x)的图象(图

8、中红线部分)和直线 y=k(x1)(图中蓝线部分)， 其中直线 y=k(x1)经过定点(1,0)，斜率为 k. 因为当 0x1 时,；当时, ， 结合图象可得当两图象只有一个公共点时，斜率 应满足或。故 的取值范围为。 答案：. 点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点： （1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理； （2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解； （3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线 y=k(x1)经过定点(1,0) 等。 14.已知点，若曲线 上存在两点 ， ，使为正三

9、角形，则称 为 型曲线给定下列三条曲线： ； 其中，是 型曲线的有_ 【答案】 【解析】 对于，由条件知点在直线外，且点到直线的距离为。则在直线上必存在两点，使 得为正三角形，且。故是 型曲线。 对于，曲线表示圆在第二象限内的部分。曲线与两坐标轴的交点分别为 ，此时弧长，最长的弦长为，故不可能是正 三角形，所以不是 型曲线。 对于，曲线表示双曲线在第四象限的部分，若上存在两点，使得为正三角 形，根据对称性可得两点连线的斜率为 1，设直线的方程为,由题意知，点 A 到直线 BC 的距 离为直线被曲线所截弦长的倍，列方程可解得（舍去） 。所以是 型曲线。 点睛：本题是新定义问题，考查学生的阅读理解

10、和即时应用的能力，此类问题的综合性较强，涉及的内容较多， 运算量较大。解题的关键是读懂题目的意思，并且能够把所要解决的问题进行转化，利用代数运算或借助于图 形的直观性去解决。 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知 为锐角，且 （I）求的值 （）求的值 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析：（1）由两角和的正切公式及条件得到关于的方程，解方程即可；（2）化简得， 由可得，结合可求得。 试题解析：（）， ， （） ， ， ， 又 为锐角， ， 16.某单位有车牌尾号为

11、 的汽车 和尾号为 的汽车 ，两车分属于两个独立业务部分对一段时间内两辆汽车 的用车记录进行统计，在非限行日， 车日出车频率， 车日出车频率该地区汽车限行规定如下： 车尾号和和和和和 限行日星期一星期二星期三星期四星期五 现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且 ， 两车出车相互独立 （I）求该单位在星期一恰好出车一台的概率 （II）设 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求 的分布列及其数学期望 【答案】 （1）（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）先确定事件：星期一恰好出车 A,不出车 B; 星期一恰好出车 B,不出车 A;两者相互对立，故概 率为（2）先确定随机变量取值为 0，

12、1，2，3，再分别求各个概率：先求 ，再求，然后列表得分 布列，根据公式求数学期望 试题解析：解：（1）设 车在星期 出车的事件为， 车在星期 出车的事件为，由已知可得 ，设该单位在星期一恰好出一台车的事件为 ， 则 ，最后求 所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为 0.5. （2） 的取值为 0，1，2，3，则 的分布为 0123 0.080.320.420.18 考点：古典概型概率，数学期望 【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有

13、古典概型公式、几何概型公式、互斥事 件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等） ，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是 否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变 量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布 XB（n，p） ） ，则此随机变量的期望可直接利用这 种典型分布的期望公式（E（X）np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 17.如下图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是

14、棱上 一点 （I）求证： （II）若， 分别是，的中点，求证：平面 （III）若二面角的大小为 ，求线段的长 【答案】 （I）见解析；（II）见解析；（III）. 【解析】 试题分析： （1）平面，又，所以面从而（2）欲证线面平行，转 证即可， （3） ）以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 求出法向量，带入公式即可. 试题解析： （I）平面， 面， ， ， 中， ， ， 面 面， （II）连接交于点 四边形是平行四边形， 是的中点 又， 分别是， 的中点， ，且， 四边形是平行四边形， 又平面， 面， 平面 （III），且平面， ， ， 两两垂直。 以 为原点， ，

15、 ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 设，则， ， ， ， ， ， 设平面的法向量为， 故， ， 则有，令，则， 又平面的法向量为 二面角的大小为 ， ， 解得，即， ， 点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应 用公式关”. 18.设函数 （I）若，求函数的单调区间 （II）若函数在区间上是减函数，求实数 的取值范围 （III）过坐标原点 作曲线的切线，求切线的横坐标 【答案】 （1）减区间为，增区间为 （2）（3）1 【解析】 试题分析：（1）求出，由可得函数的减区间，由可得函数的增区间；（2）转化成对任意 恒成立求解，即对任意恒成立，求出的最小值即可；（3）设出切点，结合导数的 几何意义求出过切点的切线方程，利用切线过原点可求得切点坐标。 试题解析：（I）时， 当，为单调减函数 当，为单调增函数 的单调减区间为，单调增区间为 （II），在区间上是减函数， 对任意恒成立 即对任意恒成立 令， 易知在上单调