《2018年第四届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年第四届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2018年第四届启智杯（初中组）真题与详细解析及评分标准 说明：本卷共12题，每题10分，满分120分。答题时间120分钟。 1.完成以下算式：将适当的数字填入下述方框内，使除法算式成立。（不要求理由） 【参考答案】201333 = 61 理由：先确定除数的十位数：因为20被该数除上6余一位数，说明该除数的十位必为3； 再定除数的个位数：根据余数是一位数，个位数只能是2、3、或4,326 =192，336 =198，346 =204；如果除数是32，则余数是8或9,结合后一位3，83或93均不是32的倍 数，结论不成立；同样可以否定34；最终确定除数是33. 后面就比较清楚了。 【评分标准】
2、确定除数的十位数得3分；再确定除数的个位数再得3分；确定尚的个位数得 2分；全部确定再得2分。 2. 请完成以下两个问题： （1）将999表示成9个连续的奇数之和的形式； （2）将表示成7 个连续的奇数之和的形式时，则其中最小的奇数是多少？（用含有 1 7 n 字母n 的代数式表示，其中字母n 正整数） 【参考答案】 （1）由于9999=111，所取9个奇数的中间数应该是111，这个表示为 999=103+105+107+109+111+113+115+117+119. （2）类似地： )67()47()27(7)27()47()67(777 1 nnnnnnnnn 故最小的奇数是。67 n
3、【评分标准】两个小题各5分。 【注】这类问题关键找出其平均数，以平均数为中心，向两端延伸。 3.观察下列等式： （1） 222 543 （2） 22222 1413121110 （3） 2222222 27262524232221 请按此规律写出第四个等式。 若按照此规律写的第n个等式的等号左边最小数为，则该等式的等号右边最大数是多 2 210 少？ 【参考答案】 第四个等式：（4） 222222222 444342414039383736 等号左边最小数为时，等号右边最大数是。 2 210 2 230 解答方法1： 每个等式的左右两边是连续若干个完全平方数，其个数依次为3、5、7、9个等等，
4、其特点 是左端比右端多1个。观察等式左边最小数发现：从上到下依次为 3 = 13 ；10 = 25；21 = 37；49；511；613；715；817；919；1021 =210等各数的平方。因此， 当等式左边最小数为2102时，该式为第10个式子，即n =10，这个式子左右两端共有21个 数，左端11个，右端10个，右端最大的数为 2 230 解答方法2： 观察已知三个等式可知：每个等式中，紧靠等号左边的数分别是 ，。 222222 321424,21412144）（）（，）（ 由此可知：第n 个等式中，紧靠等号左边的数是， 222 ) 1(4.3214nnn）（ 第 n 个等式的左边最小
5、数为，依题意有， 222 )2() 1(2nnnnn 222 2102 ）（nn 因为n 是正整数，所以，移项，分解因式得：2102 2 nn 舍去。，或解得：）（ 5 . 10-10, 0)112(10nnnn 故该等式的右边最大数是= 222 )2() 1(2nnnnn 2 230 【评分标准】写出第四个式子得4分；发现等式中数的平方特征及变化规律占2分；发现左 端最小数的变化规律占2分；确定在第10行占1分；写出最大数占1分。 2 210 4. 在如图所示的三个九宫图中，第2、3个分别是由第1、2个按照某种规律变化而来。 （1）这三个九宫图有什么相同点和不同点？ （2）请指出图1到图2、
6、图2到图3的共同变化规律，并按照这种规律填写第4个图。 【参考答案】 （1）相同点：三个表的“左下至右上”对角线上各对应数相同；每行、每列、每个对角 线三个数之和相等，都是99. “左下至右上”对角线上各对应数相同 不同点：除了“左下至右上”对角线之外，其他位置各对应数均不相同。 （2）变化规律：1到2、2到3三个图中，从左上角到右下角五条斜线上的数，第1条依次减 1，第2条依次加1，第三条不变，第4条依次减1，第5条依次加1. 21cnjy 图4的填写如下： 【评分标准】第1问4分；第2问6分 其中第一问中相同点、不同点各占2分；第二问中规律占4分；填对第4个图占2分。 5.如下图，在平行四
7、边形ABCD中，已知求阴影部分四边形,3,1 22 cmScmS BCFEBF EFHG的面积。 【参考答案】 首先，根据等高三角形面积之比等于其底之比，因此, 3:1 BCFEBF S： EF：FC=EB：CD=1：3；由于EBF相似于CDF，其面积之比等于相似比的平方，得 由此得平行四边形ABCD面积,9 2 CDF cmS ,1239 2 cmSSSS CBFCDFBCDABD 为，所以 2 24cm 四边形EFDA的面积=. (1) 2 11112cmSS EBFABD 其次，（平行四边形ABCD面积的一班），所以 2 12cmS CDA . (2) 2 6)2/1 (cmSS CDA
8、AHD 第三，由于CD = AB = AE+EB, EB:CD = 1:3, 故AE:CD =AE:AB = 2:3, AE:EB = 2:1. 根据等高三角形面积之比等于其底之比，以及,知道 2 12cmS ABD ， （3） 2 8, 3:2cmSS AEDABDAED ： 而CDG相似于AEG，相似比为CD：AE=3:2，故DG：EG=3:2， 2:3 EGADGA S： （4）5/1632/2832/2 ）（）（ AEDEGA SS 最后，由（1）（2）（4）阴影部分四边形EFHG的面积为： S=四边形EFDA的面积-。 （5） 2 8 . 15/16611cmSS EGAAHD 答：
9、阴影部分四边形EFHG 的面积为 2 8 . 1 cm 【注】也可以由得到。 2 8 . 15/1616cmSSS FGABEFAHB 【评分标准】五个等式各占2 分。 6.将2013个边长完全相同的正方形，按如图所示摆放，其中点 分别是正方形的中心。若这2013个正方形重叠形成的阴影 20132012321 AAAAA、 部分之间互不重叠，其面积之和为，则这些正方形的边长是多少？ 2 2012cm 【参考答案】 题目没有涉及到旋转角度，所以应该与旋转的角度无关，所以，我们可以让两正方形旋转 到如图特殊情况时，如图1，2所示，重叠部分的面积应该不变，若正方形边长为a，则每 个重叠的阴影部分面积
10、为正方形面积的，即。（这个结论也可以通过切补 4 1 44 1 2 2 a a 来实现） 此时2013个正方形重叠形成的2012个阴影部分的面积和位，从而20124/2012 2 a a=2. 【评分标准】发现重叠阴影部分面积不变性（正方形面积的）占5分；算出正方形边长 4 1 占5分。 7. 把一个边长为9的正三角形分割成若干正三角形（不要求每个正三角形边长相等）。 （1）最少能分割成多少个正三角形？ （2）你还能把一个正三角形分割成个正三角形吗？能做到的分别画出分割图，不能做到 指出即可（不必说明理由）。5,6,7,8,9,10,1121cnjycom （3）你能把一个正三角分割成2013
11、个正三角形吗？ （4）你能得出更一般的结论吗？ 注：正三角形是指每条边都相等的三角形 【参考答案】 （1）最少能分割成4个正三角形,如图a. （2）经过尝试发现，无法分成5个等边三角形；当AD=6时，可以得到6个正三角形，如图 b； 在图a的基础上再分割一个正三角形，可以得到7个正三角形,如图c；将BC四等分，以每一 份为边长在底部可以做出7个全等的正三角形（4个底朝下、3个底朝上），而上方余下一 个正三角形，共分割为8个正三角形，如图g；在6、7、8个分割的基础上再分割一个正三 角形，可以得到9、10、11个正三角形,如图d、图e,图f等.www-2-1-cnjy-com （3）可以把一个正
12、三角分割成2013个正三角形。 因为每次把一个正三角形分割成4个小的正三角形后，总数就增加三个正三角形，由于可 以分割为6正三角形，因此可以分割为除3之外的所有3的倍数多个正三角形，而2013 = 3671，21*cnjy*com 故可以分割为2013个正三角形。 （4）事实上，按照将底边n等分（n1）的方法，可以把一个正三角形分为2n个正三角形， 比如4、6、8等；由于可以分割为6、7、8个正三角形，它们被3除分别整除、余1、余2， 故对任意自然数n ,当n4，n5时，总能将正三角形分割成n个正三角形。 【评分标准】（1）占1分；（2）占5分，其中不能做的5占1分，能做的6、7、8各占1分，
13、 9、10、11合计占1分；（3）占2分；（4）占2分。21教育名师原创作品 8将1、2、3、10、11、12这12个数填入如图所示66的某些方格中，要求同时满 足 （1）每一行、每一列都只有一个奇数、一个偶数； 请给出两种填法（不必说明理由）。 【参考答案】答案不唯一。关键有两点： 一是位置的确定，依赖于图形的对称性； 二是数目的分组，把这12个数分为3组，每组里面两个奇数两个偶数。其中一组放入四个 角（或中心四个位置，或对角线上其它四个中心对称的位置），保证这四个数中任何两个 之和均不小于9；两外两组中任何一个奇数与另外两个偶数之和都不小于9（或任何一个偶 数与另外两个奇数之和都不小于9）
14、. 21世纪教育网版权所有 以下两种填法使用了两种不同的位置和不同的分组 （1）1、9、8、12；3、5、6、10；7、11、2、4. （2）1、3、8、10；5、7、4、6；9、11、2、12. 【评分标准】填对一种得5分，填对两种得满分。（两种填法位置可以相同） 9. 如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分 直角三角形AED和DFC。21教育网 （1）若AD = 8cm，CD = 12cm，则阴影部分面积为多少？说明你的计算依据。 （2）这样的直角三角形有无穷多种，在所有这样的图形中，留下的最大面积是多少？说 明你的理由。 【参考答案】（1）面
15、积为；（2）最大面积 2 48cm 2 50cm 【分析】（1）将三角形ADE拼补到正方形DEBF内，使DE与DF重合（或将三角形ADE 绕 顶点D逆时针旋转90度，E点和F点重合），阴影部分合并为一个直角三角形CDG，其底为 DG = DA，高为CD，面积为ADCD 2 = 812 2 = 48. www.21-cn- （2） 由于 AD+CD = 20cm，把20 分成两部分，只有等分时它们的乘积最大，即AD = CD =10，此时阴影部分面积最大，值为10 102=50. 【来源：21世纪教育网】 【评分标准】两问各占5 分；每问的答案占2 分，理由占3 分。 10. 张老师住在幸福花园8号楼，他的两个学生聪聪和明明想去家里拜访他，但是不知道家 庭具体住址。张老师告诉他们家在以下房号之一：9楼A（简称9A），9B，9C；10A, 10D; 11B,11E; 12C, 12E, 12F，并把楼层号单独告诉了聪聪，把房间号单独告诉了明明。然后 张老师请他们判断他家住在哪个房屋。他们的对话如下：2-1-c-n-j-y 聪聪：我不知道，但明明肯定也不知道。 明明：本来我也不知道，但是现在我知道了。 聪聪：哦，那我也知
