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1、2018-20192018-2019 学年吉林省吉林市普通高中高二（上）期中学年吉林省吉林市普通高中高二（上）期中 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.若,则下列不等式不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据均值不等式可知，不正确. 【详解】因为，所以，这与选项 C 显然矛盾，故 C 选项错误. 【点睛】本题考查不等式的基本性质及均值不等式，属于容易题. 2.设集合，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解一元二次不等式可得集合 B，利
2、用交集定义求解即可. 【详解】集合， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题. 3.已知等差数列中，则公差 d 的值为 A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 等差数列an中，a3=9，a9=3， 由等差数列的通项公式，可得 解得，即等差数列的公差 d=1 故选 D 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运 算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所 求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（ ）与前 项和的关系，利用整体代换思
3、想解答. 4.设x，y满足约束条件，则的最大值为 A. 8 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【详解】作出不等式对应的平面区域， 由 zx+2y，得 y， 平移直线 y，由图象可知当直线 y经过点 B 时，直线 y的截距最大，此时 z 最 大 由，得， 即 B（3，2）， 此时 z 的最大值为 z3+227， 故选 B 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题 目的常用方法 5.等比数列an中，a3，a9是方程 3x211x+9=0 的两个根，则 a6=（ ） A.
4、3 B. C. D. 以上皆非 【答案】C 【解析】 a3，a9是方程 3x211x+9=0 的两个根， a3a9=3， 又数列an是等比数列， 则 a62=a3a9=3，即 a6= 故选 C 6.在中，角的对边分别为，若，则( ) A. 60 B. 120 C. 45 D. 30 【答案】B 【解析】 根据已知，由余弦定理可得 ， 故选 B 7.已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 分析：根据对数运算得到 lg(ab)0，即 ab1，再由基本不等式得到最值. 详解： 由 lg alg b0，可知 a0，b0， 则 lg(ab)0，即 ab1. 所以 ab
5、2 2，当且仅当 ab1 时取等号， 所以 lg(ab)lg 2. 故 lg(ab)的最小值为 lg 2. 点睛：本题考查了对数的基本运算，基本不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、 拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须 为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 8.已知数列中第 15 项，数列满足，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件可得，由递推关系式可得，所 以，可得。 【详解】因为数列满足， 所以有。 又 所以， 于是有 所以，故
6、。答案选 C。 【点睛】本题考查了累乘法求特殊数列的通项公式，关键是对所给条件进行转化，属于基础题。 9.已知中，分别为的对边，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正弦定理化简可得 sin2A=sin2B，再利用正弦函数的性质得出 A，B 的关 【详解】acosA=bcosB， sinAcosA=sinBcosB， sin2A=sin2B， 2A=2B 或 2A+2B=180， A=B 或 A+B=90， ABC 是等腰三角形或直角三角形 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难
7、题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余 弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方 便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函 数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 10.已知等差数列的前 项和为，且，则“取得最小值”的一个充 分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出等差数列的通项公式，令其小于或等于零 【详解】设等差数列的公差为 ， 令，解得，故当或 时都是最小值，则满足题意“取得最
8、小值”的一个充分 不必要条件是，故选 【点睛】本题考查了等差数列前 项和的最小问题，有两种解法：一是求出的情况，另一个是化简 的表达式，得到一个关于 的一元二次函数问题。 11.已知实数 ， 满足：，若目标函数（其中 为常数）仅在处取得最大值，则 的 取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用点处取得最大值，讨论目标函数的斜 率满足的条件，从而求出 a 的取值范围。 【详解】 由可得， 有，即（舍去）或（所对应区域如上图）。 因为目标函数（其中 为常数）仅在处取得最大值， 所以目标函数的斜率为，所以。答案选
9、 A。 【点睛】本题考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题 的基本方法。 12.在中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 若的面积为 ，且，则 外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由余弦定理及三角形面积公式可得和，结合条件，可得 ，进而得，由正弦定理可得结果。 【详解】由余弦定理得， 所以 又， 所以有， 即，所以， 由正弦定理得，得 所以外接圆的面积为 。答案选 D。 【点睛】解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活选择， 它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构
10、造方程（组）的重要依据，把正、余弦定理，三角形 的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.若不等式的解集为 R，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】2,2 【解析】 由题意，得 m240，2m2. 14.若数列的前 项和为，则的值为_ 【答案】24 【解析】 由题意可知，数列满足， 所以 15.已知中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c 且，则_ 【答案】5 【解析】 【分析】 由和三角形的面积的值，利用三角形的面积公式求出 的值，然后由及
11、的值，利用余弦定理， 即可求出 的值 【详解】由三角形的面积公式，由，所以， 又由，由余弦定理得， 解得 【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能 够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式 子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可 能用到 16.已知，且，若恒成立，则实数 的取值范围是_ 【答案】 （-4，2） 【解析】 试题分析：因为当且仅当时取等号，所以 考点：基本不等式求最值 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小
12、题，共 70.070.0 分）分） 17.若不等式 若不等式解集是或，求 k 的值； 若不等式解集是 R，求 k 的取值 【答案】(1)；(2) 【解析】 试题分析：（1）一元二次不等式的解集的端点值应该为其对应方程的根，所以可利用根与系数的关系解 得参数；（2）一元二次不等式的恒成立问题，可以结合二次函数图像，得到不等式组，解之即可 试题解析：（1）不等式 kx22x6k2， x13 与 x22 是方程 kx22x6k0（k0）的两根， 32，k ； （2）若不等式的解集为 R，即 kx22x6k0 恒成立， 则满足，k， kk|k 考点：1一元二次不等式的解法；2一元二次不等式恒成立问题
13、18.已知是公差不为零的等差数列，的前 项和为，若成等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的值. 【答案】 （1）（2）30 【解析】 分析：（1）由已知条件列出方程求解即可. （2）由即可求得答案. 详解：（1）解：由题意知， 由于,整理得， 代入，解得：， 所以 （2）解法一：由可知， 即 解法二：由可知， 点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两 个，体现了用方程的思想来解决问题 (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用 它们表示已
14、知和未知是常用方法 19.在中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，设， （1）求 b 的值； （2）求的面积 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】 （1）由余弦定理直接求 b 的值即可 （2）先由求出，再根据三角形的面积公式求解 【详解】 （1）a=4，c=3，cosB= 由余弦定理可得 b= 故 b 的值 （2）cosB=，B 为三角形的内角， sinB=， 又 a=4，c=3， SABC=acsinB= 【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，解题时可根据相应的公式求解即可，但要注意计 算的准确性，这是在解答类似问题中常出现的错误 20.某厂拟用集装箱托运甲
15、、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在 表中，如何设计甲、乙两种货物应各托运的箱数可以获得最大利润，最大利润是多少？ 货物 体积箱 重量箱利润 百元 箱 甲 5220 乙 4510 托运限制 2413 【答案】当托运甲 4 箱，乙 1 箱时利润最大，最大利润为 9000 元。 【解析】 试题分析：首先设甲、乙两种货物应各托运的箱数为 x，y，由已知条件和表格中的数据得到的线性约 束条件，将所求的利用用表示，将实际问题转化为线性规划求最值问题 试题解析：设甲、乙两种货物应各托运的箱数为 x，y，则 目标函数 z20x10y，画出可行域如图 由得 A（4,1） 易知当直线 2xy0 平移经过点 A（4,1）时，z 取得最大值且 答：当托运甲 4 箱，乙 1 箱时利润最大，最大利润为 9000 元。 考点：线性规划的实际应用 21.已知的内角 ， ， 满足 . （1）求角 ； （2）若的外接圆半径为 1，求的面积 的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】 试题分析：（1）先根据正弦定理将角的关系转化为边的关系，再根据余弦定理求 A,（2）由余弦定理以及 基本不等式求最大值，再根据三角形面积公式得面积 的最大值. 试题解析：（1）设内角
