吉林省长春实验高中2019届高三第三次月考 数学（理）试题（解析版）

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1、吉林省长春实验高中吉林省长春实验高中 20192019 届高三第三次月考届高三第三次月考 理科数学理科数学 第第卷卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ， 故选 D 2.设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 故选：C 3.若双曲线的一个焦点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为双曲线的一个焦点为，所以 ，故选 B. 4.已知，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【

2、解析】 【分析】 利用求得平方的值，再开平方即可得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，故选 B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量 积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7 【答案】B 【解析】 由题意可知，该几何体在正方体的基础上去掉一个三棱柱 故该几何体的体积为 故选 6.设满足约束条件则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由约束条件作出可行域如图， 易得 A（1，1）， 化目标函数 z=2xy

3、 为 y=2xz， 由图可知，当直线 y=2xz 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为3 故选：A 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需 要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件 中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或 边界上取得. 7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根题意得到，n=1,S=1, N=2,S=3; N=3,S=6; N=4,S=10;

4、 N=5,S=15;此时 S11,输出 S=15. 故答案为：C。 8.若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 令，解得：，设，作出的图象，当时，满足题意. 故选：C 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 9.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a21，则“a35”

5、是“S3S993”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式、求和公式与性质，以及充分条件与必要条件的定义，结合不等式的性质即可得 到结论. 【详解】设公差为 ，若，则， 所以，充分性成立； 反之， 成立，则 ，不一定成立，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，故选 A. 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、 性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利 用原命题和逆否命题、逆命题和否命

6、题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为 包含关系来处理. 10.函数，f（x）Acos（wx） （A0，w0，0）的部分图象如图所示，为了得到 g（x） Asinwx 的图象，只需将函数 yf（x）的图象 A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 由函数的部分图象可得： ，则， 将代入得 ，则 故可将函数的图象向左平移个单位长度得到 的图象，即可得到的图象 故选 11.在四面体中，底面， 为棱的中点，点 在上且满足 ，若四面体的外接球的表面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【

7、答案】B 【解析】 ， 设的外心为 O，则 在上，设，则 即，解得 四面体的外接球的半径 ，解得 则 故选 点睛：本题主要考查了四面体与球的位置关系，结合题目条件，先利用勾股定理计算出三角形外接圆的半 径，再由球心与外接圆圆心连接再次勾股定理，结合外接球的表面积计算得长度，从而计算出结果，本题 有一定难度，需要学生能够空间想象及运用勾股定理计算 12.已知函数的导数为，不是常数函数，且对恒成立，则下列不等 式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 原式等于 ，设 ，那么 ，所以函数 是单调递增函数， ，即 ，故选 A. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解不等式，

8、需要构造函数，一般：（1）条件含有 ， 就构造 ，(2)若 ，就构造 ， （3） ，就构造 ， （4）或 是 就构造 ，或是熟记 ， 等函数的导数，便于给出导数时，联想 构造函数。 第第卷卷 二、填空题二、填空题 13.若函数，则_ 【答案】7 【解析】 . 故答案为：7 14.在的展开式中，若第四项的系数为，则_ 【答案】1 【解析】 展开式中 由题意可得： ，解得 故答案为：1 15.直线 经过抛物线的焦点 ,且与抛物线交于两点，若，则直线 的斜率为_ 【答案】 【解析】 依题意，抛物线的焦点 设直线 的方程为 由得，设， ， 即 ， 解得或 或 又，将代入 解得 点睛：本题考查了直线与抛

9、物线的位置关系，根据题中所给条件，设出直线方程为，联立直线方 程与抛物线方程，依据条件，得出交点横坐标之间的数量关系，然后再根据韦达定理，求出交点横坐标， 从而求得结果。 16.在数列中，且.记，则下列判断正确的是 _ （填写所有正确结论的编号） 数列为等比例数列；存在正整数 ，使得 能被 11 整除； ；能被 51 整除. 【答案】 【解析】 ，又， 数列为首项为 3 公比为 3 等比数列，则， 当时，内被 11 整除，故都正确. ，. ，故错误， ，能被 51 整除.故正确. 故答案为： 三、解答题三、解答题 17.在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且. （1）求角 ； （2）若

10、，的面积为， 为的中点，求. 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析：由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得， 又因为，求出，结合 的范围可求 的值 利用三角形内角和定理可求 ，利用三角形面积公式求 ，在中，利用余弦定理可求，在 中，利用正弦定理可求 解析：（1）由，得，由正弦定理可得， ，因为，所以， 因为，所以. （2）因为，故为等腰三角形，且顶角， 故， 所以，在中，由余弦定理可得， 所以，在中，由正弦定理可得， 即，所以. 18.某家电公司根据销售区域将销售员分成两组.2017 年年初，公司根据销售员的销售业绩分发年终奖， 销售员的销售额(单位:十万元)在区

11、间内对应的年终奖分别为 2 万元，2.5 万元，3 万元，3.5 万元.已知 200 名销售员的年销售额都在区间内，将这些数据分成 4 组： ，得到如下两个频率分布直方图: 以上面数据的频率作为概率，分别从 组与 组的销售员中随机选取 1 位，记分别表示 组与 组被选 取的销售员获得的年终奖. （1）求 的分布列及数学期； （2）试问 组与 组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？ 【答案】 （1）见解析；（2）见解析. 【解析】 试题分析：分别求出组销售员的销售额在的频率，由此能求出 的分布列及数学期望； 求出 的分布列及数学期望，即可得到答案 解析：（1） 组销售员的销售额在的频率

12、分别为 0.2,0.3,0.2,0.3， 则 的分布列为： 故(元）. （2） 组销售员的销售额在的频率分别为:0.1，0.35，0.35，0.2， 则 的分布列为： 故(元）. ， 组销售员获得的年终奖的平均值更高. 19.如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角 形，且. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】(1)详见解析(2) 【解析】 试题分析：（1）通过证明平面来证明平面平面。 （2）由 OP、OA、OB 两两垂直，所以 建立空间直角坐标系利用空间向量求二面角。 试题解析：（1）证明：是以为斜边的等腰直角三角形， . 又，平面， 则，又， 平面， 又平面，平面

13、平面. （2）解：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设是平面的法向量， 则，即， 令得. 由（1）知，平面的一个法向量为， . 由图可知，二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角的余弦值为. 【点睛】 证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直； 利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时 cos ；由图形知二面角是钝角时，cos .当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法 向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平 面的法向量指向二面角的外

14、部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部) 20.已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等，且与 的长轴长相等，这两个 椭圆在第一象限的交点为 ，直线 与直线（ 为坐标原点）垂直，且 与交于两点 （1）求的方程； （2）求的面积的最大值 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析：（1）由题意可得，即可得方程； （2）联立，又 在第一象限，得，可设 的方程为，联立 得，设，分别计算和 到直线 的距离为 得 的面积进而得解. 试题解析： （1）由题意可得，故的方程为. （2）联立，得，又 在第一象限，. 故可设 的方程为. 联立，得， 设，则， ， 又 到直线 的距离为，则的面积， ，当且仅

15、当，即，满足，故的面积 的最大值为. 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和 意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可 首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从 而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的 取值范围 21.已知，函数 （1）若曲线在点处的切线的斜率为，判断函数在上的单调性； （2）若，证明：对恒成立 【答案】 （1）函数在上单调递增（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）求导得，从而得，易知当时，从而知 函数为单调递增的； （2）设，利用导数可证得，设，从而， 得证. 试题解析： （1）解：， ， .， 当时，函数在上单调递增. （2）证明：设， 令，得，递增；令，得递减. ，. 设，令得， 令，得递增；令，得递减. ， ，. 又，即. 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，直线 C2的方程为，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极