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1、2018-2019 学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 1.已知集合 A=xR|3x+20，B=xR|（x+1）（x-3）0，则 AB=（ ） A. B. C. D. ( , 1) ( 1, 2 3) ( 2 3,3)(3, + ) 2.已知变量 x，y 满足约束条件，则 z=x-2y 的最大值为（ ） + 2 1 1 1 0 ? A. B. 1C. 3D. 0 3 3.设 ， 为向量，则| |=| | |是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
2、D. 既不充分也不必要条件 4.某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（ ） A. 2B. 1C. D. 2 3 1 3 5.直线截圆（x-2）2+y2=4 所得劣弧所对的圆心角是（ ） 3 = 0 A. B. C. D. 6 3 2 2 3 6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（ ） 2 4 + 2 3 = 1 A. B. C. D. 2 3 2= 12 2 3 = 1 2 4 2 3 = 1 2 3 2 4 = 1 第 2 页，共 18 页 7.函数 y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）是（ ） A. 奇函数且在上单调递增B. 奇函数且在上单调递增 0,
3、 2 2, C. 偶函数且在上单调递增D. 偶函数且在上单调递增 0, 2 2, 8.已知函数，且存在不同的实数 x1，x2，x3，使得 f（x1） () = 2+ 2 + 1, 2 2 2, 2 ? =f（x2）=f（x3），则 x1x2x3的取值范围是（ ） A. B. C. D. (0,3)(1,2)(0,2)(1,3) 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 9.已知，其中 a，b 是实数，i 是虚数单位，则 a+bi=_ 1 = 1 + 10. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则=_ 11. 如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中
4、的成绩（单位： 分）已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为 _，_ 12. （文）等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2+10a1，a5=9，则 a1=_ 13. 设点（m，n）在直线 x+y=1 位于第一象限内的图象上运动，则 log2m+log2n 的最 大值为_ 14. 设函数 f（x）在 R 上存在导数 f（x），xR，有 f（-x）+f（x）=x2，在 （0，+）上，f（x）x，若 f（6-m）-f（m）-18+6m0，则实数 m 的取值范围 是_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 78.0 分） 15. ABC 中，角 A
5、、B、C 所对的边分别为 a，b，c，已知， = 3 3 ， ( + ) = 5 3 9 = 2 3 （1）求 sinA； （2）求边 c 的值 16. 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表： （单位：人） 参加书法社团未参加书法社团 参加演讲社团85 未参加演讲社团230 （）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加一个社团的概率； （）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3现从这 5 名男同学和 3 名女同学中 各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1未被选中的概
6、率 17. 如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知A=45，C=90，ADC=105， AB=BD，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BDC（如图乙），设 点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点 （1）求证：DC平面 ABC； （2）求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦； （3）求二面角 B-EF-A 的余弦 第 4 页，共 18 页 18. 已知数列an的前 n 项和为 Sn=（nN*） 2+ 2 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn=+（-1）nan，求数列bn的前 2n 项和 2 19. 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（-1，0）、F2（1，0
7、），短轴的两个端点分别为 B1，B2 （1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆 C 的方程； （2）若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且 ，求直线 l 的方程 1 1 20. 已知函数 f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线 y=f（x）和曲线 y=g（x） 都过点 P（0，2），且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2 （）求 a，b，c，d 的值； （）若 x-2 时，f（x）kg（x），求 k 的取值范围 第 6 页，共 18 页 1.D 解：因为 B=xR|（x+1）（x-3）0=x|x-1 或 x3， 又集合 A
8、=xR|3x+20=x|x， 所以 AB=x|xx|x-1 或 x3=x|x3， 故选：D 求出集合 B，然后直接求解 AB 本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力 2.B 解：作出不等式组表示的 平面区域， 得到如图的ABC 及其内部，其中 A（- 1，1），B（2，1），C（1，0） 设 z=F（x，y）=x-2y，将直线 l：z=x-2y 进行平移， 当 l 经过点 C 时，目标函数 z 达到最大值 z最大值=F（1，0）=1 故选：B 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函 数 z=x-2y 对应的直线进行平移，可得当 x=1，y=0 时
9、，z 取得最大值 1 本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z=x-2y 的最大值，着重考查了二元 一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 3.C 解：=， 若 a，b 为零向量，显然成立； 若cos=1 则与的夹角为零角或平角，即，故充分 性成立 而，则与的夹角为为零角或平角，有 因此是的充分必要条件 故选：C 利用向量的数量积公式得到 =，根据此公式再看 与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结 论 本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题 4.A 解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱， 底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 1，2， 侧棱与底面垂
10、直，侧棱长是 2 几何体的体积是122=2 故选：A 根据三视图可知几何体是一个三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边 分别是 1，2，侧棱与底面垂直，侧棱长是 2，根据三棱柱的体积公式得到结 果 本题考查由三视图求几何体的体积和由三视图还原三视图，本题解题的关键 是看清各部分的数据，这样计算就不会出错 5.D 第 8 页，共 18 页 解：圆（x-2）2+y2=4 的圆心为（2，0），圆心到直线的距离 d=1， 而圆的半径等于 2，设弦所对的劣弧所对的圆心角是 2， 则有 cos=，可得 =，故 2=， 故选：D 求出圆心到直线的距离 d=1，设劣弧所对的圆心角是 2，则有 cos= ，可
11、得 的值，则 2 即为所求 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，直角三角 形中的边角关系，属于中档题 6.B 解：设要求的双曲线为， 由椭圆得焦点为（1，0），顶点为（2，0） 双曲线的顶点为（1，0）焦点为（2，0） a=1，c=2，b2=c2-a2=3 双曲线为 故选：B 熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键 熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键 7.C 解：由于函数 y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin2x-cos2x=-cos2x，故函数为偶函数， 故排除 A、B 令 2k-2x2k，kz，求得 k-xk，kz，故函数的减区
12、间为k-，k， kz 令 2k2x2k+，kz，求得 kxk+，kz，故函数的增区间为k，k+ ，kz， 故选：C 利用二倍角公式化简函数的解析式为-cos2x，可得函数为偶函数，再求出函 数的单调区间，从而得出结论 本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的奇偶性以及单调性，属于中档 题 8.A 解：函数的图象如图 所示： 设 x1x2x3， 又当 x2，+）时，f（x）=2x-2是增函数， 当 x=3 时，f（x）=2， 设 f（x1）=f（x2）=f（x3）=t，1t2， 即有-x12+2x1+1=-x22+2x2+1=2=t， 故 x1x2x3=（1-）（1+）（2+log2t） =（t
13、-1）（2+log2t）， 由 g（t）=（t-1）（2+log2t），1t2， 可得 g（t）=2+log2t+0，即 g（t）在（1，2）递增， 可得 g（t）的范围是（0，3） 故选：A 作出 y=f（x）的函数图象，设 x1x2x3，f（x1）=f（x2）=f（x3）=t，1t2，求得 x1，x2，x3，构造函数 g（t）=（t-1）（2+log2t），1t2，求得导数，判断单调性， 第 10 页，共 18 页 即可得到所求范围 本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结 合思想，难度中档 9.2+i 解：已知，a=（1+bi）（1-i），即 a=b+1+（b-
14、1）i， ，a=2，b=1，则 a+bi=2+i， 故答案为 2+i 由条件可得，a=b+1+（b-1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得 a 和 b 的 值，即可求得 a+bi 的值 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个 复数相等的充要条件，属于基础题 10.2 解：已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则=0， 故=（ ）（）=（）（）=- +-=4+0-0-=2， 故答案为 2 根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（ ）（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的 性质，属于中档题 11.5 8 解：根据茎叶图中的数据，得： 甲组数据的中位数为 15，x=5； 又乙组数据的平均数为 16.8， =16.8， 解得：y=8； 综上，x、y 的值分别为 5、8 故答案为：5 8 根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出 x、y 的值 本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题 12. 1 9 解：设等比数列an的公比为 q， S3=a2+10a1，a5=9， ， 解得 故答案为： 设等比数列an的公比为 q，由题意可得，解方程组可得 本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及
