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1、东北育才学校高中部2016届高三第五次模拟数学试题（理科） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：高三数学备课组第卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.复数的共轭复数是 A. B. C. D. 2.设函数,则 A5B6C9D223若命题“,使得”为假命题，则实数的取值范围是 A B C D 4.已知公比为的等比数列，且满足条件，则 A B C或 D5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是 A. B. 3 C. D.6.已知是函数的一个极大值点，则的一个单调递减区间是 A B
2、 C D 7.若执行右面的程序框图，则输出的值是 A4 B. 5 C. 6 D. 78.已知直线平分圆的周长，则直线与圆的位置关系是 A相交 B相切 C相离 D不能确定9.设为坐标原点，若满足，则的最大值为 A10 B8 C6 D4来源:410. 如图所示的阴影部分是由底边长为，高为的等腰三角形及宽为，长分别为和的两矩形所构成.设函数是图中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积，则函数的图象大致为 11 如图，已知是双曲线的下，上焦点，过点作以为圆心，为半径的圆的切线，为切点，若切线段被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为 A B C D12. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足
3、，则不等式的解集为A BC D. 第卷（非选择题 共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13.的展开式中的常数项是 .14.将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为_.15.用五种不同的颜色给图中编号为1-6的六个长方形区域涂色,要求颜色齐全且有公共边的区域不同色,则共有 种不同的涂色方案.16.已知是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，面积为，已知. （）求证：成等差数列； （）若 求.18. (本小题满分12分) 李师傅
4、为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计，他最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下. 图1 表1 （）求李师傅这8天 “健步走”步数的平均数（千步）； ACDA1B1C1BD1E （）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设李师傅这2天通过健步走消耗的“能量和”为，求的分布列.19. (本小题满分12分) 已知长方体中，为的中点，如图所示. ()在所给图中画出平面与平面的交线（不必说明理由）； ()证明：平面； ()求平面与平面所成锐二面角的大小.20. （本小题满分12分） 已知椭圆，其离心率，过椭圆内一点的两条直线分别
5、与椭圆交于点和，且满足，其中为实数 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的 ()求椭圆的方程； ()当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由21.（本小题满分12分） 已知函数. （）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （）当时，记的极小值为，若，求证：. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22（本题满分10分）选修：几何证明选讲如图所示，为圆的切线，为切点,交圆于两点，的角平分线与和圆分别交于点和.（）求证； （）求的值. 23.（本题满分10分）选修
6、4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（）求的直角坐标方程；（）设直线与曲线交于两点，求弦长.24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，的最大值为，正数满足()求；()是否存在，使得？并说明理由东北育才学校高中部2016届高三第五次模拟数学答案（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 14. 15.1080 16.三、解答题：
7、本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.解：（1）由正弦定理得：即 2分即 4分即成等差数列. 6分（余弦定理也可解决）（2） 8分又 10分由（1）得：即12分18.解: (I) 李师傅这8天 “健步走”步数的平均数为（千步）. .4分（II）的各种取值可能为800，840，880，920.,的分布列为：800840880920.12分19.（1）连接交于，则直线即为平面与平面的交线，如图所示； 2分（2）由（1）因为在长方体中，所以为的中点，又为的中点所以在中是中位线，所以4分又平面，平面，所以平面6分（3）因为在长方体中，所以两两垂直，于是以所在直线分别为轴，
8、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为,，所以，.所以，令平面的一个法向量为所以，从而有，即，不妨令，得到平面的一个法向量为，8分令平面的一个法向量为,所以，从而有，即，不妨令，得到平面的一个法向量为，10分因为.11分所以平面与平面所成锐二面角的大小为.12分20.解：（1）因为，所以，因为，所以由，得，将它代入到椭圆方程中，得，解得，所以所求方程为 4分 由，得 6分 从而，即为定值 12分法二：设，由，得，同理， 6分将坐标代入椭圆方程得，两式相减得，即， 同理，而，所以, 10分所以，所以，即，所以为定值 12分21.解：f (x)在定义域(0，1)内单调递增在(0，1)内恒
9、成立，即在(0，1)内恒成立令，则在(0，1)内单调递减，且在(0，1)上存在唯一零点mg (x)在(0，m)上递增，在(m，1)上递减， 5分证明：当时，令，则由(1)知，在(0，1)上存在唯一零点m在(0，m)上递增，在(m，1)上递减，f (x)的极小值为f (x0)，因此f (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，1)上单调递增不妨设x1x2，f (x1) = f (x2)，令，则在(0，1)递减，F (x)在(0，1)递减，F (x) F (0) = 0，又，f (x)在(0，x0)上单调递减，即 12分22.解：（1）由为圆的切线,得，又为公共角，所以， 4分（2）由为圆的切线，是过点的割线，又， 又由（1）知，是的角平分线，且， ， 10分23. （）由，得，即曲线的直角坐标方程为 4分（）将直线l的方程化标准式代入，并整理得，所以 10分24.解：()当时，单调递增，所以；当时，单调递减，所以；当时，单调递减，所以；所以的最大值 -4分 ()假设存在正数，使得，则所以；又由于，所以10分
