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1、几何证明选讲检测试题 文 选修4-11(2015天津卷)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若C M2,MD4,CN3,则线段NE的长为()A. B. C. D.答案:A解析:令AB3a(a0),因为CMMDAMMB,即242a2,所以a2,又因为CNNEANNB,即3NE42,所以NE.故选A.2(2015广东卷)如图,已知AB是圆O的直径,AB4,EC是圆O的切线,切点为C,BC1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD_.答案:8解析:易得AC,由OPBC,且O为AB的中点可知CPAC,OPBC,CPOACB90,CPD90.因为
2、EC是切线,所以DCPCBA,从而CPDBCA,故,DP,故ODDPOP8.3如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CBCE.(1)证明:DE;(2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MBMC,证明:ADE为等边三角形证明:(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以DCBE.由已知CBCE得CBEE,故DE.(2)设BC的中点为N,连接MN,则由MBMC知MNBC,故O在直线MN上又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OMAD,即MNAD.所以ADBC,故ACBE.又CBEE,故AE.由(1)知,DE,所以ADE为等边三角形4如图,AE是圆O的切线,A
3、是切点,ADOE于D,割线EC交圆O于B,C两点(1)证明:O,D,B,C四点共圆;(2)设DBC50,ODC30,求OEC的大小解:(1)证明:连接OA,OC,则OAEA.由射影定理得,EA2EDEO.由切割线定理得,EA2EBEC,故EDEOEBEC,即,又OECOEC,所以BDEOCE,所以EDBOCE,因此O,D,B,C四点共圆(2)连接OB.因为OECOCBCOE180,结合(1)得OEC180OCBCOE180OBCDBE180OBC(180DBC)DBCODC20.5(2015新课标全国卷)如图,O为等腰三角形ABC内一点,O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于
4、点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点(1)证明:EFBC;(2)若AG等于O的半径,且AEMN2,求四边形EBCF的面积解:(1)证明:由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AEAF,故ADEF,从而EFBC.(2)由(1)知,AEAF,ADEF,故AD所在直线是EF的垂直平分线又EF为O的弦,所以O在AD上连接OE,OM,则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE,所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2,所以AO4,OE2.因为OMOE2,DMMN,所以OD1.于是AD5,AB.所以四边形EBCF的面积为
5、2(2)2.6如图,P是O的直径AB延长线上的一点,割线PCD交O于C,D两点,弦DF与直径AB垂直,H为垂足,CF与AB交于点E.(1)求证:PAPBPOPE;(2)若DECF,P15,O的半径等于2,求弦CF的长解:(1)证明:连接OD,AB是O的直径,弦DF与直径AB垂直,H为垂足,C在O上,DOADCF,PODPCE.又DPOEPC,PDOPEC,即PDPCPOPE.由割线定理得PAPBPDPC,PAPBPOPE.(2)由已知,直径AB是弦DF的垂直平分线,EDEF,DEHFEH.DECF,DEHFEH45.由PECFEH45,P15得DCF60.由DOADCF得DOA60.在RtDHO中,OD2,DHODsinDOH,DEEF,CE,CFCEEF.