《2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.2复数的几何意义课件新人教a版选修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.2复数的几何意义课件新人教a版选修（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.2 复数的几何意义,主题1 复数的几何意义 1.实数可以与数轴上的点一一对应,类比实数,复数z=a+bi(a,bR)与有序实数对(a,b)有怎样的对应关系?,提示:复数的代数形式z=a+bi(a,bR),因为它是由实部a和虚部b同时确定,即有顺序的两实数,不难想到有序实数a,b与有序实数对(a,b)一一对应.,2.复数z=a+bi(a,bR)能否用直角坐标平面内的点表示? 提示:由1知,任何一个复数z=a+bi(a,bR)都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应,因此复数可以用平面直角坐标系中的点表示.,3.复数能否用平面向量表示
2、? 提示:每一个平面向量都可以用一个有序实数对表示,而复数也可用有序实数对表示,因此复数可用平面向量来表示.,结论: 1.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_.x轴 叫做_,y轴叫做_.实轴_轴上的点都表示 _,除_外,虚轴_轴上的点都表示纯虚数.,复平面,实轴,虚轴,x,实数,(0,0),y,2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,bR) 复平面内的点_. (2)复数z=a+bi(a,bR) 平面向量 .,Z(a,b),【微思考】 如何作出复数在复平面内的对应点或向量? 提示:将复数化成代数形式a+bi(a,bR),从而确定 a,b,再作出Z(a,b)或 .,主题2 复数的模
3、 1.设Z(a,b),则向量 的模如何用a,b表示? 提示:,2.复数可以用向量表示,那么向量的模是复数的什么? 提示:用文字语言描述:向量的模就是复数的模. 用符号语言描述:,结论:复数的模 复数z=a+bi(a,bR)对应向量 的模 记作复数z的模.用_或_表示.,|z|,|a+bi|,【微思考】 计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,再利用模的公式计算,那么对于两个复数z1和z2,是否存在z1z2或|z1|z2|? 提示:复数不能比较大小,但模可以.,【预习自测】 1.实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【
4、解析】选B.实部为-2,虚部为1的复数为-2+i,所对应点的坐标为(-2,1),在第二象限.,2.在复平面内,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则a的值为 ( ) A.a=0或a=2 B.a=0 C.a1且a2 D.a1或a2 【解析】选A.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,所以a2-2a=0,所以a=0或a=2.,3.已知复数z=1-i,那么|z|等于 ( ) A.0 B.1 C. D.2 【解析】选C.|z|=|1-i|=,4.下面四个式子中,正确的是 ( ) A.3i2i B.|2+3i|1-4i| C.|2-i|2i4 D.i2-
5、i,【解析】选C.因为两个虚数不能比较大小,因此排除 选项A和D. 因为|2+3i|= ,|1-4i|= , 所以|2+3i|2i4,选项C正确.,5.已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则|z|=_. 【解析】z=1+2i|z|=|1+2i|= . 答案:,【备选训练】已知复数z=(a2-4)+(a+2)i(aR). (1)若z为纯虚数,求实数a的值. (2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,求实数a的值.,【解题指南】(1)纯虚数指的是实部为零,虚部不为零的复数,因此只需找到复数的实虚部,满足相应条件即可.(2)复数对应的点的坐标是由实部和虚部构成的.,【解析】(1)若z为
6、纯虚数,则a2-4=0且a+20,得a=2. (2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,则a2-4+2(a+2)+1=0,得a=-1.,类型一 复数与点的一一对应 【典例1】在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点分别满足下列条件: (1)在虚轴上 (2)在第二象限 (3)在x轴上方那么实数m的取值范围应分别是多少.,【解题指南】由z=a+bi(a,bR)与点Z(a,b)一一对应知第(1)问要求实部为0;第(2)问要求实部小于0、虚部大于0;第(3)问要求虚部大于0.,【解析】复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i在复平面内对 应的点为Z
7、(m2-2m-8,m2+3m-10). (1)点Z在虚轴上,则m2-2m-8=0,解得m=-2或m=4. (2)点Z在第二象限内, 则 解得2m4.,(3)点Z在x轴上方, 则m2+3m-100,解得m2或m-5.,【延伸探究】 1.若本例条件不变,求复数z表示的点在第二、四象限时实数m的范围. 【解析】由题意知,(m2-2m-8)(m2+3m-10)0, 所以2m4或-5m-2.,2.若本例条件不变,求复数z表示的点在直线y=x上时实数m的值. 【解析】由已知得m2-2m-8=m2+3m-10, 所以m= .,【方法总结】复数与点的对应关系及应用 (1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复
8、数的实部就是该点的横坐标,虚部就是该点的纵坐标.,(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时,可根据复数与点的对应关系,建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)得出结论.,【补偿训练】已知i为虚数单位,aR,若a2-1+ (a+1)i为纯虚数,则复数z=a+(a-2)i在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解析】选D.因为i为虚数单位,aR,a2-1+(a+1)i 为纯虚数,所以 解得a=1,所以z=1-i,z=1-i 在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),所以该点位于第
9、 四象限.,类型二 复数与向量的对应 【典例2】(1)已知平面直角坐标系中O是原点,向量 , 对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量 对应的复数是 ( ) A.-5+5i B.5-5i C.5+5i D.-5-5i,(2)已知向量 对应的复数是4+3i,点A关于实轴的对 称点为A1,将向量 平移,使其起点移动到A点,这时 终点为A2. 求向量 对应的复数. 求点A2对应的复数.,【解题指南】(1)利用向量平移的特征可求出向量 对应的坐标,再利用其坐标确定其对应的复数. (2)根据复数与点、复数与向量的对应关系求解.,【解析】(1)选B.向量 , 对应的复数分别为2- 3i,-3+2i,
10、根据复数与复平面内的点一一对应,可得向 量 =(2,-3), =(-3,2). 由向量减法的坐标运算可得向量 = - =(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量 对应 的复数是5-5i. (2)因为向量 对应的复数是4+3i, 所以点A对应的复数也是4+3i, 因此点A坐标为(4,3), 所以点A关于实轴的对称点A1为(4,-3),故向量 对应的复数是4-3i. 依题意知 = ,而 =(4,-3), 设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3), 所以x=8,y=0,即A2(8,0). 所以点A2对应的复数是8.,【延伸探究】若将本例(2)中条件作
11、如下改动:向量 对应的复数为-5+3i,将向量 向下平移1个 单位,向右平移2个单位得到向量 ,如何求向量 对应的复数?点A1对应的复数?,【解析】如图,由于O为原点, 对应的复数为-5+3i,所以 A点坐标为(-5,3),向量 向下平移1个单位,向右平移2个单位后,点O1的坐标为(2,-1),点A1的坐标为(-3,2).,向量 对应的复数与 对应的复数相同,仍为 -5+3i. 点A1对应的复数为-3+2i.,【方法总结】复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z=a+bi(a,bR)是与以原点为起点,Z(a,b)为 终点的向量 一一对应的. (2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是
12、其起点 与终点所对应的复数可能改变.,【巩固训练】在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别 为1,2+i,-1+2i. (1)求向量 对应的复数. (2)判定ABC的形状.,【解析】(1)由复数的几何意义知: 所以 所以 对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.,(2)因为 所以 所以ABC是以BC为斜边的直角三角形.,类型三 复数的模 【典例3】(1)已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为 ( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.1或0,(2)(2017杭州高二检测)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|1 B.-11 D
13、.a0,【解题指南】(1)先分别求出复数z1=a+2i,z2=2-i的模,再利用模相等求出对应的值. (2)根据复数模的计算公式列不等式得出答案.,【解析】(1)选C.根据题意可知a2+4=4+1,所以a=1. (2)选B.因为|z1|= ,|z2|= 所以 即a2+45,所以a21,即-1a1.,【方法总结】复数模的计算 (1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模的公式计算.虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.,(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解. 提醒:复数的模表示该复数在复平面内的对应点到原点的距离,则任何一个复数的模都是非负数.,【巩固
14、训练】已知复数z=3+ai,且|z|4,求实数a的取值范围.,【解析】方法一:因为z=3+ai(aR), 所以|z|= , 由已知得32+a242, 所以a27,所以a(- , ).,方法二:利用复数的几何意义,由|z|4知,z在复平面 内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包 括边界), 由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上, 所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合. 由图可知:- a .,【补偿训练】已知x,y是实数,且x2+(2i-2)x+1 -yi=0(其中i是虚数单位),则|x+yi|=_.,【解析】依题意可得x2+(2i-2)x+1-yi=0,即(x2- 2x+1)+(2x-y)i=0,x,y是实数,所以 所以 所以|x+yi|=|1+2i|= . 答案:,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)数形结合法:利用复数与复平面上的点、向量的一一对应研究复数. (2)转化法:把复数问题转化为图形问题,把图形问题转化为复数问题.,
