《浙江专用2018年高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专用2018年高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质课件（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十章 圆锥曲线与方程 10.1 椭圆及其性质,高考数学 (浙江专用),考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 ,过F2 的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4 ,则C的方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1,五年高考,答案 A 由题意及椭圆的定义知4a=4 ,则a= ,又 = = ,c=1,b2=2,C的方程为 + =1,选A.,2.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分 别为A,B,线段M
2、N的中点在C上,则|AN|+|BN|= .,答案 12,解析 由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(- ,0),右焦点为F2( ,0).则M(m,n)关于F1的对称点为 A(-2 -m,-n),关于F2的对称点为B(2 -m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|= + =2 + , 故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=26=12.,评析 本题主要考查椭圆定义等知识,重点考查学生的运算能力,数形结合思想.,3.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+ =1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E 于A,B两点.若|AF1|=3
3、|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为 .,答案 x2+ y2=1,解析 不妨设点A在第一象限,AF2x轴,A(c,b2)(其中c2=1-b2,00). 又|AF1|=3|F1B|,由 =3 得B ,代入x2+ =1得 + =1,又c2=1-b2,b2= . 故椭圆E的方程为x2+ y2=1.,4.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 + =1(ab0)的离心率为 , 且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB, 求直线AB的方程.,解析
4、(1)由题意,得 = 且c+ =3, 解得a= ,c=1,则b=1, 所以椭圆的标准方程为 +y2=1. (2)当ABx轴时,AB= ,又CP=3,不合题意. 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2= ,C的坐标为 ,且AB= = = . 若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意. 从而k0,故直线PC的方程为y+ =- , 则P点的坐标为 , 从而PC= .,因为PC=2AB, 所以 = , 解得k=1. 此时直线AB方程为y
5、=x-1或y=-x+1.,评析 本题在考查椭圆基本性质与标准方程的同时,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系和方 程思想.,5.(2015福建,18,13分)已知椭圆E: + =1(ab0)过点(0, ),且离心率e= . (1)求椭圆E的方程; (2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关 系,并说明理由.,解析 解法一:(1)由已知得 解得 所以椭圆E的方程为 + =1. (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0). 由 得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2= ,y1y2=- ,从而y0= .
6、 所以|GH|2= + = + =(m2+1) + my0+ . = = = =(1+m2)( -y1y2), 故|GH|2- = my0+(1+m2)y1y2+ = - + = 0,所以|GH| .,故点G 在以AB为直径的圆外. 解法二:(1)同解法一. (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 = , = . 由 得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2= ,y1y2=- , 从而 = +y1y2= +y1y2=(m2+1)y1y2+ m(y1+y2)+ = + + = 0, 所以cos0.又 , 不共线,所以AGB为锐角. 故点G 在以AB为直径的圆外.,评析 本题
7、主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算 求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、方程思想.,6.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为 + =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B 的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 . (1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ,求E的方程.,解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为 , 又kOM= ,从而 = . 进而a= b,c= =2b.故e= = . (2)由题设条件和(
8、1)的计算结果可得,直线AB的方程为 + =1,点N的坐标为 ,设点 N关于直线AB的对称点S的坐标为 ,则线段NS的中点T的坐标为 .又点T 在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有 + =1, = ,解得b=3,所以a=3 ,故椭圆E 的方程为 + =1.,7.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆 + =1(ab0)的左、 右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C, 连接F1C. (1)若点C的坐标为 ,且BF2= ,求椭圆的方程; (2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.,以下为教师
9、用书专用,解析 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为B(0,b),所以BF2= =a. 又BF2= ,故a= . 因为点C 在椭圆上,所以 + =1,解得b2=1. 故所求椭圆的方程为 +y2=1. (2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上, 所以直线AB的方程为 + =1. 解方程组 得 所以点A的坐标为 . 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为 .,因为直线F1C的斜率为 = ,直线AB的斜率为- ,且F1CAB,所以 =-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2= .因此e= .,评析 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质
10、、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运 算求解能力.,考点二 椭圆的几何性质 1.(2017浙江,2,4分)椭圆 + =1的离心率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得,a=3,c= ,离心率e= = .故选B.,2.(2017课标全国文,12,5分)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M满足 AMB=120,则m的取值范围是 ( ) A.(0,19,+) B.(0, 9,+) C.(0,14,+) D.(0, 4,+),当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|OA|3,即 3,即m9. 综上,m
11、(0,19,+),故选A.,易错警示 在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两 个端点,并未说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在的坐 标轴.,3.(2017课标全国理,10,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系. 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切, =a,即 2b= ,a2=3b2,a
12、2=b2+c2, = ,e= = .,方法技巧 椭圆离心率的求法: (1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式e= 求解. (2)方程法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解.注意要根据e的 范围取舍方程的解.,4.(2013浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1: +y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第 二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 焦点F1(- ,0),F2( ,0),在RtAF1F2中,|AF1|+|AF2|=4,|AF1|2+ =12,所以可解得|A
13、F 2|-|AF1|=2 ,故双曲线的离心率e= = ,选D.,评析 本题考查椭圆与双曲线的几何性质,以及数形结合思想,函数与方程思想和转化与化归思 想,考查学生的运算求解能力和图形观察能力.抓住点A在双曲线和椭圆上且F1AF2= 是解答 本题的关键.,5.(2016课标全国,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1(ab0)的左焦点,A,B分别为 C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线 BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方
14、程为y=k(x+a),当x=-c时, y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N ,由于B,M,N三 点共线,所以kBN=kBM,即 = ,所以 = ,即a=3c,所以e= .故选A.,评析 本题主要考查椭圆的几何性质,三点共线的判定等基本知识和基本技能,考查学生的计算 求解能力和逻辑思维能力,同时考查了方程思想的应用.,6.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 + =1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 .,答案,解析 由已知条件易得B ,
15、C , F(c,0), = , = , 由BFC=90,可得 =0, 所以 + =0, 即c2- a2+ b2=0, 亦即4c2-3a2+(a2-c2)=0, 所以3c2=2a2, 所以 = ,则e= = .,思路分析 圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直.利用向量数量积为零转化为数量关系.,7.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆C: + =1(ab0)相交于A,B两点,若 M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 .,答案,解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1, + =1. 两式相减并整理得 =- . 把已知条件代入上式得,- =- ,
16、= ,故椭圆的离心率e= = .,评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系.考查了线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求解 的关键.,8.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E. 求证:BDE与BDN的面积之比为45.,解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C的方程为 + =1(ab0). 由题意得 解得c= . 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n0. 直线A
