《2018年高考数学一轮总复习 第九章 概率与统计 第9讲 用样本估计总体课件(理)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018年高考数学一轮总复习 第九章 概率与统计 第9讲 用样本估计总体课件(理)(42页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第9讲 用样本估计总体,1.用样本估计总体,通常我们对总体作出的估计一般分成两种,一种是用样本 的频率分布估计总体的分布,另一种是用样本的数字特征估计 总体的数字特征.,2.统计图 (1)频率分布直方图. 求极差:极差是一组数据的最大值与最小值的差. 决定组距和组数:当样本容量不超过 100 时,常分成 5,12 组.组距_.,极差 组数,将数据分组:通常对组内数值所在区间取左闭右开区间, 最后一组取闭区间.也可以将样本数据多取一位小数分组. 列频率分布表:登记频数,计算频率,列出频率分布表.,将样本数据分成若干个小组,每个小组内的样本个数称作 频数,频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率.频
2、率反映各 个数据在每组所占比例的大小. 绘制频率分布直方图:把横轴分成若干段,每一段对应 一个组距,然后以线段为底作一小长方形,它的高等于该组的,频率 组距,,这样得到一系列的长方形,每个长方形的面积恰好是该,组上的频率.这些矩形就构成了频率分布直方图,各个长方形的,面积总和等于_.,1,(2)频率分布折线图和总体密度曲线.,频率分布折线图:连接频率分布直方图中各长方形上端,的中点,就得频率分布折线图.,总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组 数增加,组距减小,相应的频率分布折线图就会越来越接近于 一条光滑的曲线,统计中称之为总体密度曲线.,(3)茎叶图.,当样本数据较少时,用茎叶图
3、表示数据的效果较好,它不 但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记录和表 示都带来方便.,3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数. 众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数 据的众数. 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在_ 位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的,中位数.,最中间,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积 应该相等.,(2)样本方差、标准差.,(其中 xn 是样本数据的第 n 项,n是样本容量, x 是_). 标准差是反映总体波动大小的特征数,样本方差是标准 差的平方.通常用样本方差估计总体方差,当样
4、本容量接近总体,容量时,样本方差接近总体方差.,平均数,1.(2015 年江苏)已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的,平均数为_.,6,2.(2015 年重庆)重庆市 2013 年各月的平均气温(单位:) 数据的茎叶图(如图 9-9-1)如下: 图 9-9-1,则这组数据中的中位数是(,),B,A.19,B.20,C.21.5,D.23,解析:由茎叶图可知总共 12 个数据,处在正中间的两个数 是第六和第七个数,它们都是 20,由中位数的定义可知:其中 位数就是 20.故选 B.,3.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:cm) 数据绘制成频率分布直方图(如图
5、9-9-2).由图中数据可知身高,在120,130内的学生人数为(,C,) 图 9-9-2,A.20,B.25,C.30,D.35,4.(2013 年重庆)以下茎叶图(如图 9-9-3)记录了甲,乙两组 各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分): 图 9-9-3 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,,则 x,y 的值分别为(,),A.2,5,B.5,5,C.5,8,D.8,8,解析:甲组数据按照从小到大的顺序排,最中间那个数为 15,则 x5,乙组平均数为16.8,则乙组数据的总和为16.85 84,则 y849151824108.,答案:C,考点 1,频率分布
6、直方图的绘制及其应用,例 1:(2014 年新课标)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下 频数分布表: (1)如图 9-9-4,在表格中作出这些数据的频率分布直方图:,图 9-9-4,(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的,数据用该组区间的中点值作代表);,(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种 产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定?,解:(1)频率分布直方图如图 D67:,图 D67,(2)质量指标值的样本平均数为,x 800.06 900.26 1000.38 1100.
7、22 ,1200.08100.,质量指标值的样本方差为,s2 ( 20)20.06 (10)20.26 00.38 1020.22 ,2020.08104.,所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差,的估计值为 104.,(3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38,0.220.080.68,,由于该估计值小于 0.8.故不能认为该企业生产的这种产品 符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%” 的规定.,【规律方法】用频率分布直方图解决相关问题时,应正确 理解图表中各个量的意义,识图掌握信息是解决该类问题的关,键.频率分布直方图有以下几个要
8、点:纵轴表示,频率 组距,;,频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比; 直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上 的频率,所有的小矩形的面积之和等于 1,即频率之和为 1.,【互动探究】 1.(2013 年四川)某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网 上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图 9-9-5.以组距为 5 将数据分组成0,5),5,10),30,35),35,40时,所作的频,率分布直方图是(,),图 9-9-5,A C,B D,解析:根据题意,列频率分布表得:,故选 A.,答案:A,2.(2014 年江苏)某种树木的底部周长的取值范围是80,130, 它的频率分
9、布直方图如图 9-9-6,则在抽测的 60 株树木中,有,_株树木的底部周长小于 100 cm.,24,图 9-9-6 解析:由题意知,在抽测的 60 株树木中,底部周长小于 100 cm 的株数为(0.0150.025)106024(株).,考点 2 茎叶图的应用,例 2:(2014 年新课标)某市为了考核甲、乙两部门的工 作情况,随机访问了 50 位市民,根据这 50 位市民对这两部门 的评分( 评分越高表明市民的评价越高) ,绘制茎叶图( 如图,9-9-7).,图 9-9-7,的是66,68,故样本中位数为,(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对
10、甲、乙两部门的评分高于 90 分 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 解:(1)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到 大排序,排在第 25,26 位的是 75,75,故样本中位数为 75,所以 该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位,6668 2,67,所以该市的市民对乙,部门评分的中位数的估计值是 67.,0.1, 0.16.,(2)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高于,90 分的比率分别为,5 50,8 50,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 分的概率的估
11、计 值分别为 0.1,0.16. (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对 乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门 的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市 民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、 评价差别较大.(注:考生利用其他统计量进行分析,结论合理的 同样给分),【互动探究】,3.(2013 年新课标)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称 为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位 患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均 增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:
12、服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:,服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:,(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的,疗效更好?,(2)根据两组数据完成下面茎叶图(如图 9-9-8),从茎叶图看,,哪种药的疗效更好?,图 9-9-8,解:(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平,均数为 y .,由观测结果可得,x (0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.4,2.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3,,y (0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.4 1.61.71.8
13、1.92.12.42.52.62.73.2)1.6.,由以上计算结果可得 x y ,因此可看出 A 药的疗效更好.,(2)由观测结果可绘制茎叶图如图 D68: 图 D68,从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有,7 10,的叶集,7 10,的叶集中在茎,中在茎“2.”“3.”上,而 B 药疗效的试验结果有 “0.”“1.”上,由此可看出 A 药的疗效更好.,考点 3 用样本的数字特征估计总体的数字特征 例 3:(2015 年广东)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表:,(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且 在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44,列出样本
14、的 年龄数据;,(2)计算(1)中样本的平均值 x 和方差 s2;,(3)36 名工人中年龄在 x s 与 x s 之间有多少人?所占的,百分比是多少(精确到 0.01%)?,解:(1)依题所抽样本编号是一个首项为 2,公差为 4 的等 差数列,故其所有样本编号依次为 2,6,10,14,18,22,26,30,34,对 应样本的年龄数据依次为 44,40,36,43,36,37,44,43,37.,(2)由(1)可得其样本的均值为,【规律方法】(1)众数体现了样本数据的最大集中点,但无,法客观的反映总体特征.,(2)中位数是样本数据所占频率的等分线.,(3)标准差、方差描述了一组数据围绕平均
15、数波动的大小. 标准差、方差越大,数据越分散;标准差、方差越小,数据越 集中.,x,【互动探究】 4.(2014 年陕西)某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1, x2,x10,其均值和方差分别为 和 s2,若从下个月起每位 员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下个月工资的均值和,方差分别为(,),答案:D,难点突破,统计图与概率的结合,在高考中常以频率分布直方图或茎叶图的形式出现,考查,统计与概率的知识,这也是近几年高考的热点.,例题:(2014 年重庆)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分),的频数分布直方图(如图 9-9-9)如下:,图 9-9-9,(1)求频率分布直方图中 a 的值;,(2)分别求出成绩落在50,60)与60,70)中的学生人数; (3)从成绩在50,70)的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都,在60,70)中的概率.,解:(1)频率分布直方图的组距为 10,,(2a3a6a7a2a)101,a,1 200,0.005.,(2)成绩落在50,60)的学生人数为 20.00510202, 成绩落在60,70)的学生人数为 30.00510203. (3)记成绩落在50,60)的学生为 A1,A2,成绩落在60,70)的 学生为 B1,B2,B3, 从成绩在50,70)的学生中任选 2 人,共有基本事件 10