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1、第一章 三角函数学习目标1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握三角函数诱导公式.3.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图像.4.理解三角函数ysin x，ycos x，ytan x的性质.5.了解函数yAsin(x)的实际意义，掌握函数yAsin(x)图像的变换1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫作的_，记作_，即_；(2)x叫作的_，记作_，即_；(3)叫作的_，记作_，即_2诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k(kZ)”的诱导公式当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把
2、视为锐角时原函数值的符号记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”3正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RRx|xR且xk，kZ值域对称性对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：(kZ)对称中心：(kZ)，无对称轴奇偶性周期性最小正周期：_最小正周期：_最小正周期：_单调性在(kZ)上是增加的；在(kZ)上是减少的在2k，2k(kZ)上是增加的；在2k，2k(kZ)上是减少的在开区间(k，k)(kZ)上是增加的最值在x_(kZ)时，ymax1；在x2k(kZ)时，ymin1在x2k(kZ)时，ymax1；在x2
3、k(kZ)时，ymin1无最值类型一三角函数的概念例1已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.反思与感悟(1)已知角的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值在的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0)则sin ，cos .已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论跟踪训练1已知角的终边上有一点P(24k,7k)，k0，求sin ，cos ，tan 的值类型
4、二三角函数的图像与性质例2将函数yf(x)的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数ysin x的图像(1)求f(x)的最小正周期和递增区间；(2)若函数yg(x)与yf(x)的图像关于直线x2对称，求当x0,1时，函数yg(x)的最小值和最大值反思与感悟研究yAsin(x)的单调性、最值问题，把x看作一个整体来解决跟踪训练2函数f(x)3sin的部分图像如图所示(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值类型三三角函数的最值和值域命题角度1可化为yAsin(x)k型例3求函数y2sin(x)
5、3，x0，的最大值和最小值反思与感悟利用yAsin(x)k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响跟踪训练3已知函数yasin(2x)b在x0，上的值域为5,1，求a，b的值命题角度2可化为sin x或cos x的二次函数型例4已知|x|，求函数f(x)cos2xsin x的最小值反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错跟踪训练4已知函数f(x)sin2xasin xb1的最大值为0，最小值为4，若实数a0，求a，b的值命题角度3分式型函数利用有界性求值域例5求函数y的值域反思与感悟在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值
6、域问题跟踪训练5求函数y的最大值和最小值类型四数形结合思想在三角函数中的应用例6已知方程sin(x)在0，上有两个解，求实数m的取值范围反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究yAsin(x)(A0，0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想跟踪训练6设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若f(x)在区间，上具有单调性，且f()f()f()，则f(x)的最小正周期为_1若一个角的终边上有一点P(4，a)，且sin cos ，则a的值为()A4 B4C4或 D.2已知f()，则f()的值为()A. B C D.3函数y|sin x|sin|
7、x|的值域为()A2,2 B1,1 C0,2 D0,14函数f(x)2sin(x)的部分图像如图所示，则，的值分别是()A2， B2， C4， D4，5已知函数f(x)sin2xsin xa，若1f(x)对一切xR恒成立，求实数a的取值范围三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法答案精析知识梳理1(1)正弦sin sin y(2)余弦cos cos x(3)
8、正切tan tan (x0)31,11,1R奇函数偶函数奇函数222k题型探究例18跟踪训练1解当k0时，令x24k，y7k，则有r25k，sin ，cos ，tan .当k0时，令x24k，y7k，则有r25k，sin ，cos ，tan .例2解(1)函数y sin x的图像向下平移1个单位长度得ysin x1，再将得到的图像上的点的横坐标伸长为原来的倍，得到ysinx1的图像，然后向右平移1个单位长度，得到ysin(x)1的图像，函数yf(x)的最小正周期为T6.由2kx2k，kZ，得6kx6k，kZ，函数yf(x)的递增区间是6k，6k，kZ.(2)函数yg(x)与yf(x)的图像关于
9、直线x2对称，当x0,1时，yg(x)的最值即为x3,4时，yf(x)的最值当x3,4时，x，sin(x)0，f(x)1，当x0,1时，yg(x)的最小值是1，最大值为.跟踪训练2解(1)f(x)的最小正周期为，x0，y03.(2)因为x，所以2x，于是，当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.例3解x0，x，sin(x)1.当sin(x)1，即x时，y取得最小值1.当sin(x)，即x时，y取得最大值4.函数y2sin(x)3，x0，的最大值为4，最小值为1.跟踪训练3解x0，2x，sin(2x)，1当a0时，解得当a0时，解得a，b的取值分别是4，3或
10、4，1.例4解yf(x)cos2xsin xsin2xsin x1.令tsin x，|x|，sin x.则yt2t1(t)2(t)，当t，即x时，f(x)有最小值，且最小值为()2.跟踪训练4解令tsin x，则g(t)t2atb12b1，且t1,1根据对称轴t0与区间1,1的位置关系进行分类讨论当1，即a2时，解得当10，即0a2时，解得(舍)或(舍)，综上所述，a2，b2.例5解方法一原函数变形为y1，|cos x|1，32cos x11且2cos x10，2或，则函数的值域为y|y3或y方法二原函数变形为cos x，|cos x|1，|1且|，函数的值域为y|y3或y跟踪训练5解y3.1sin x1，当sin x1时，ymax3，当sin x1时，ymin32，函数y的最大值为，最小值为2.例6解函数ysin(x)，x0，的图像如图所示，方程sin(x)在0，上有两个解等价于函数y1sin(x)，y2在同一平面直角坐标系中的图像在0，上有两个不同的交点，所以1，即m2.跟踪训练6当堂训练1C2.C3.C4.A5解令tsin x，则t1,1，则函数可化为f(t)t2ta(t)2a.当t时，f(t)maxa，即f(x)maxa；当t1时，f(t)mina2，即f(x)mina2.故函数f(x)的值域为a2，a所以解得3a4.故实数a的取值范围为3,49
