§1.2 复平面上的点集我们在上节中提到过的复平面上的线段、直线和圆周等都是复平面上的点集.今后,我们的研究对象-解析函数,其定义域和值域都是复平面上的某个点集.1. 平面点集的几个基本概念定义1.1 由不等式所确定的平面点集(以后平面点集均简称点集),就是以为心,以为半径的圆,称为点的-邻域,常记为.定义1.2 考虑点集.若平面上一点(不必属于E)的任意邻域都有E的无穷多个点,则称为E的聚点或极限点;若属于E,但非E的聚点,则称为E的孤立点;若不属于E,又非E的聚点,则称为E的外点. 定义1.3 若点集E的每个聚点皆属于E,则称E为闭集;若点集E的点有一邻域全含于E内,则称为E的内点;若点集E的点皆为内点,则称E为开集;若在点的任意邻域内,同时有属于点集E和不属于E的点,则称为E的边界点;点集E的全部边界点组成的点集称为E的边界. 点集E的边界常记成. 点集E的孤立点必是E的边界点.定义1.4 若有正数,对于点集E内的点z皆合,即若E全含于一圆之内,则称E为有界集,否则称E为无界集.2. 区域与约当(Jordan)曲线 CyOxD内点外点界点图1.12复变函数论的基础几何概念之一是区域的概念.定义1.5 具备下列性质的非空点集D称为区域:(1) D为开集.(2) D中任意两点可用全在D中的折线连接(图1.12).定义1.6 区域D加上它的边界C称为闭域,记为注意 区域都是开的,不包含它的边界点. 例1.16 试证:点集E的边界是闭集.证 设z为的聚点.取z的任意邻域,则存在使得.在内能画出以为心,充分小半径的圆.这时由可见,在此圆内属于E的点和不属于E的点都存在.于是,在内属于E的点和不属于E的点都存在.故z.因此是闭集. 应用关于复数z的不等式来表示z平面上的区域,有时是很方便的. 例1.17 z平面上以原点为心,R为半径的圆(即圆形区域):以及z平面上以原点为心,R为半径的闭圆(即圆形闭域): 它们都以圆周为边界,且都是有界的.图1.13i1-1Oyx例1.18 z平面上以实轴为边界的两个无界区域是上半平面,及 下半平面. Z平面上以虚轴为边界的两个无界区域是 左半平面 右半平面例1.19 图1.13所示为单位圆周的外部含在上半z平面的部分,表为 例1.20 图1.14所示的带形区域表为: yxrRO图 1.15Oyx图1.14例1.21 图1.15所示的同心圆环(即圆环形区域)表为: r<|z|
定义1.7 设及是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程组: 或由复数方程:， （或简记为） 所决定的点集，称为平面上的一条连续曲线称为的参数方程，及分别称为的起点和终点；对满足的及当成立时，点称为此曲线的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或约当曲线；的简单曲线称为简单闭曲线简单曲线是平面上的一个有界闭集例如，线段，圆弧，抛物线弧段等都是简单闭曲线；圆周和椭圆周等都是简单闭曲线定义1.8 设连续弧的参数方程为 ， 任取实数列： ， 并且考虑弧上对应的点列： 将它们用一折线连接起来，的长度 如果对于所有的数列（1.17），有上界，则弧称为可求长的上确界 称为弧的长度定义1.9 设简单（或简单闭）曲线的参数方程为 ，又在上，及存在，连续且不全为零，则称为光滑（闭）曲线光滑（闭）曲线具有连续转动的切线定义1.10 由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线特别简单折线是逐段光滑曲线逐段光滑曲线必是可求长曲线，但简单曲线（或简单闭曲线）却不一定可求长例1.22设简单曲线的参数方程为 显然 \皆为上的点，且连接及两电线段之长 因为是发散的，所以也是发散的，从而知简单曲线J是不可求长的。
我们容易看出，圆周把平面分为两个不相连接的xOy负方向正方向E(C)I(C)区域和这个结果时下面所谓约当定理的特例 定理1.1 （约当定理） 任一简单闭曲线将平面唯一地分成及三个点集（图1.16），它们具有如下性质：（1） 彼此不交；（2） 是一个有界区域（称为的内部）；（3） 是一个无界区域（称为的内部）（4） 若简单折线的一个端点属于，另一个端点属于，则必与有交点此定理的证明虽有多种，但都包含若干拓扑学的知识和术语，非简单篇幅所能说明因此略去证明不过这个定理的直观意义是很清楚的沿着一条简单闭曲线有两个相反的方向，其中一个方向是：当观察者顺此方向沿前进一周时，的内部一直在的左方，即“逆时针”方向，称为正方向；另一个方向是 ：当观察者顺此方向沿前进一周时，的外部一直在的左方，即“顺时针”方向，称为负方向（图1.16）在简单闭曲线的内部无论怎样画简单闭曲线，则的内部必全含于这一性质的一般化，即是定义1.11 设为复平面上的区域若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通的区域称为多连通区域简单闭曲线的内部就是单连通区域我们在例1.17 至例1.20中所列举的区域也是单连通的。
而例1.21所列举的圆环形区域：——它包括去心的圆（），一个圆的外部（），去掉圆点的平面三种特例——就不是单连通的，因为，如果取为圆周，它的内部就不能全含于这个圆环形区域内（请读者自己作图思考）注 若实数集不囿与上（下），则称“广义的数”为它们的上（下）界关于这些“广义的”数或“无穷的”数，我们有 及，其中是不论怎样的（有限的）实数符号和读着“正无穷”和“负无穷”。