《2020版数学（文）一轮课标通用课件：第三章 第一节 变化率与导数、导数的计算 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学（文）一轮课标通用课件：第三章 第一节 变化率与导数、导数的计算 （42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节 变化率与导数、导数的计算,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数,3.函数f(x)的导函数,教材研读,4.基本初等函数的导数公式,5.导数的运算法则,考点一 导数的计算,考点二 导数的几何意义,考点突破,教材研读,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ,若x=x2-x1,y= f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为 .,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y =f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y ,即
2、f (x0)= = . (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0, f(x0),处的 切线的斜率 .相应地,切线方程为 y-f(x0)=f (x0)(x-x0) . 提醒 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为k=f (x0) 的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P,点P可以是切点,也可 以不是切点,而且这样的直线可能有多条. (3)函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和倾斜 角,这三者是可以相互转化的.,3.函数f(x)的
3、导函数 称函数f (x)= 为f(x)的导函数,导函数有时也记作y.,4.基本初等函数的导数公式,5.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)= f (x)g(x) ; (2)f(x)g(x)= f (x)g(x)+f(x)g(x) ; (3) = (g(x)0).,知识拓展 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是 周期函数. 2.af(x)+bg(x)=af (x)+bg(x). 3.函数y=f(x)的导数f (x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映 了变化方向,其大小|f (x)|反映了变化快慢,|f (x)|越大,曲线在这点处的切 线越“陡”.,1.
4、 判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)f (x0)与f(x0)表示的意义相同. ( ) (2)f (x0)是导函数f (x)在x=x0处的函数值. ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( ) (4)因为(ln x)= ,所以 =ln x. ( ),答案 (1) (2) (3) (4),2.下列求导运算正确的是 ( ) A. =1+ B.(log2x)= C.(3x)=3xlog3e D.(x2cos x)=-2sin x,答案 B =x+ =1- ;(3x)=3xln 3;(x2cos x)=(x2)cos x+x2(cos x)=2xcos x-x2sin x.故
5、选B.,B,3.有一机器人的运动方程为s(t)=t2+ (t是时间,s是位移),则该机器人在时 刻t=2时的瞬时速度为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由题意知,机器人的速度方程为v(t)=s(t)=2t- ,故当t=2时, 机器人的瞬时速度为v(2)=22- = .,D,4.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可 能是 ( ),D,答案 D 由y=f (x)的图象知y=f (x)在(0,+)上单调递减,所以函数y =f(x)的切线的斜率在(0,+)上也单调递减,故排除A、C.又由图象知y= f (x)与y=g(x)的图象在x=x0
6、处相交,所以y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的 切线的斜率相同,故排除B.,5.若f(x)=xex,则f (1)= .,答案 2e,解析 f (x)=ex+xex,f (1)=2e.,6.曲线y=1- 在点(-1,-1)处的切线方程为 .,答案 2x-y+1=0,解析 y= ,y|x=-1=2.故所求切线方程为2x-y+1=0.,导数的计算,考点突破,典例1 求下列函数的导数. (1)y=x2sin x; (2)y=ln x+ ; (3)y=xsin cos .,解析 (1)y=(x2)sin x+x2(sin x) =2xsin x+x2cos x. (2)y= =(ln x)+
7、 = - . (3)y=xsin cos,= xsin(4x+) =- xsin 4x, y=- sin 4x- x4cos 4x =- sin 4x-2xcos 4x.,方法技巧 1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导. 2.具体方法: (1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式形式,再求导;(2)遇到根式形式, 先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂的分式,先将分式化简,再求导; (4)遇到三角函数形式,先利用三角恒等变换对函数变形,再求导;(5)遇到 复合函数,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.,提醒 对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似f(x)=f (x0)g(
8、x)+h (x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f (x0)是常数,其导数值 为0.因此先求导数f (x),令x=x0,即可得到f (x0)的值,进而得到函数解析 式,求得所求导数值.,1-1 f(x)=x(2 018+ln x),若f (x0)=2 019,则x0等于 ( ) A.e2 B.1 C.ln 2 D.e,答案 B f (x)=2 018+ln x+x =2 019+ln x,故由f (x0)=2 019,得2 019+ln x0=2 019,则ln x0=0,解得x0=1.,B,1-2 若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f (1)=2,则f (-1)= .,答案
9、 -2,解析 f (x)=4ax3+2bx, f (x)为奇函数,又f (1)=2,f (-1)=-2.,1-3 已知函数f(x)的导函数为f (x),且满足f(x)=2xf (1)+ln x,则f (1)= .,答案 -1,解析 f(x)=2xf (1)+ln x, f (x)=2f (1)+ , f (1)=2f (1)+1, 即f (1)=-1.,导数的几何意义 命题方向一 求切线方程,典例2 (1)(2018课标全国,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇 函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=
10、2x D.y=x (2)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l 的方程为 .,答案 (1)D (2)x-y-1=0,解析 (1)本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,得a=1, f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方 程为y=x,故选D. (2)因为点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上, 所以设切点为(x0,y0). 又因为f (x)=1+ln x,所以,解得 所以切点为(1,0),所以f (1)=1+ln
11、 1=1. 所以直线l的方程为y=x-1, 即x-y-1=0.,命题方向二 求切点坐标 典例3 函数f(x)=xln x在点P(x0,f(x0)处的切线与直线x+y=0垂直,则切点 P的坐标为 .,答案 (1,0),解析 f(x)=xln x,f (x)=ln x+1,由题意得f (x0)(-1)=-1,即f (x0)=1,ln x0+1=1,ln x0=0,x0=1, f(x0)=0,即P(1,0).,命题方向三 求参数的值 典例4 (2019河北唐山质检)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于 点A(1,3),则b的值为 ( ) A.3 B.-3 C.5 D.-5,答案 A,解
12、析 由题意知,3=k+1,k=2,又(x3+ax+b)|x=1=(3x2+a)|x=1=3+a,3+a=2, a=-1,3=1-1+b,即b=3.,命题方向四 两曲线的公切线 典例5 已知曲线f(x)=x3+ax+ 在x=0处的切线与曲线g(x)=-ln x相切,求a 的值.,解析 由f(x)=x3+ax+ 得, f(0)= ,f (x)=3x2+a,则f (0)=a, 曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y- =ax. 设直线y- =ax与曲线g(x)=-ln x相切于点(x0,-ln x0),又g(x)=- ,命题方向五 导数与函数的图象 典例6 (1)已知函数y=f(x)的图象是下列四
13、个图象之一,且其导函数y= f (x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( ),B,(2)已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线, 令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)= .,答案 (1)B (2)0,规律总结 导数的几何意义的应用及求解思路 (1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线, 曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f (x0)(x-x0);求过某点的 切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. (2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求
14、函数的导数,然后让 导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析 式求出切点的纵坐标.,(3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切 线斜率的方程. (4)函数图象在某一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点 处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降得快慢. (5)求两条曲线的公切线的方法: 利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求 解.,利用公切线得出关系式. 设公切线l在y=f(x)上的切点P1(x1,y1),在y=g(x)上的切点P2(x2,y2),则f (x1)= g(x2)= .,2-1 (2019河北唐山
15、五校联考)曲线y= 在点(0,-1)处的切线与两坐标 轴围成的封闭图形的面积为 ( ) A. B. C. D.1,答案 B 易得y= ,所以y|x=0=2,所以曲线在点(0,-1)处的切线方程 为y+1=2x,即y=2x-1,与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-1), ,所以与 两坐标轴围成的三角形的面积S= |-1| = ,故选B.,B,2-2 (2019安徽合肥质量检测)已知直线2x-y+1=0与曲线y=aex+x相切 (其中e为自然对数的底数),则实数a的值是( ) A. B.1 C.2 D.e,答案 B 由题意知y=aex+1=2,则a0,x=-ln a,代入曲线方程得y=1-ln a, 所以切线方程为y-(1-ln a)=2(x+ln a),即y=2x+ln a+1=2x+1a=1.,B,2-3 (2019福建泉州一模)若一直线与曲线y=ln x和曲线x2=ay(a0)相切 于同一点P,则a的值为 .,答案 2e,解析 设切点P(x0,y0),由y=ln x,得y= ,由x2=ay,得y= x,则有 解 得a=2e.,
