《（新课标）2018高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第4讲 与函数的零点相关的问题课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（新课标）2018高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第4讲 与函数的零点相关的问题课件 理（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4讲 与函数的零点相关的问题,考向分析,核心整合,热点精讲,阅卷评析,考向分析,考情纵览,真题导航,A,1.(2015安徽卷,理2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) (A)y=cos x (B)y=sin x (C)y=ln x (D)y=x2+1,解析:y=cos x是偶函数,且存在零点; y=sin x是奇函数; y=ln x既不是奇函数又不是偶函数; y=x2+1是偶函数,但不存在零点. 故选A.,D,3.(2014新课标全国卷,理11)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是( ) (A)(2,+) (B)(1,+) (
2、C)(-,-2) (D)(-,-1),C,答案: (-,0)(1,+),6.(2015广东卷,理19)设a1,函数f(x)=(1+x2)ex-a. (1)求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)在(-,+)上仅有一个零点;,(1)解:函数f(x)的定义域为R. 因为f(x)=2xex+(1+x2)ex=(x2+2x+1)ex=(x+1)2ex0, 所以函数f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间.,(2)证明:因为a1,所以f(0)=1-a0, 所以f(0)f(ln a)0, 由零点存在性定理可知f(x)在(0,ln a)内存在零点. 又由(1)知f(x
3、)在R上单调递增, 故f(x)在(-,+)上仅有一个零点.,备考指要,1.怎么考 对函数零点的考查主要集中在以下两个方面:一是结合函数零点的存在性定理或函数图象,对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断,及判断函数零点所在的区间;二是利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围.多以选择、填空题的形式出现,有时呈现在函数与导数的解答题里面,难度中等偏上. 2.怎么办 复习备考时应理解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴有交点的等价性;掌握函数零点存在性定理;注重培养函数与方程思想、数形结合的思想及等价转化思想的应用意识.,核心整合,函数的零点,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)
4、的图象与x,轴有交点,函数y=f(x)有零点,温馨提示 (1)函数零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标. (2)当函数y=f(x)在(a,b)内有零点时,不一定有f(a)f(b)0.,热点精讲,热点一,函数零点的个数问题,方法技巧 (1)判断函数y=f(x)零点个数的常用方法:直接法.令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数. 零点存在性定理法.判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数. 数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题.(画出两个函数的图象,其交点的个数就
5、是函数零点的个数) (2)由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法: 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. 分离参数法:先将参数分离得a=f(x),再转化成求函数f(x)值域问题加以解决. 数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.,答案: (1)B,(2)(2015山东枣庄三模)函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是 .,热点二,确定函数零点所在的区间,方法技巧 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y
6、=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 提醒:在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点,在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性.,(2)因为a0, f(b)=(b-c)(b-a)0, 所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,故选A.,热点三,利用导数解决与函数有关的方程根(函数零点)问题,【例3】 (2015河南省六市3月第一次联合调研)设函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x. (1)求函数f(x)的单调
7、区间;,(2)若函数f(x)有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值.,方法技巧 (1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路: 将问题转化为函数零点的个数问题,进而转化为函数图象交点的个数问题; 利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质; 画出函数的大致图象; 结合图象求解. (2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤: 在该区间上构造与方程相应的函数; 利用导数研究该函数在该区间上的单调性; 判断该函数在该区间端点处的函数值异号; 作出结论.,解: (1)函数的定义域为R,f(x)=ex+a, 由函数f(x)在x=0处取得极值, 则
8、f(0)=1+a=0,解得a=-1, 即有f(x)=ex-x+1,f(x)=ex-1, 当x0时,有f(x)0,f(x)递增. 则x=0处f(x)取得极小值,也为最小值,且为2, 又f(-2)=e-2+3,f(1)=e,f(-2)f(1), 即有最大值为e-2+3;,(2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围.,备选例题,【例1】 (2015天津河西区二模)函数f(x)=x2-4x-2ln x+5的零点个数为( ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0,解析:函数f(x)=x2-4x-2ln x+5的零点个数即函数y=x2-4x+5与函数y=2ln x的交点的个数,作函数y=x2-4
9、x+5与函数y=2ln x的图象如下, 结合图象可得,函数f(x)=x2-4x-2ln x+5的零点个数为2.故选B.,【例2】 (2015泉州3月质检)曲线y=ex与直线y=5-x交点的纵坐标在区间(m,m+1)(mZ)内,则实数m的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,解析:列出下列自变量与函数值的数表:,考查数表中x值的大小变化对应的y值的范围,得曲线y=ex与直线y=5-x交点的纵坐标y(3,4),则m=3,故选C.,【例3】 (2014四川卷)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.71828为自然对数的底数. (1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值;,(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.,阅卷评析,(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.,【答题启示】 1.函数y=f(x)在点(x0,f(x0)的导数f(x0)是切线的斜率,切点坐标既满足曲线方程又满足切线方程,为此,常建立方程(组)求参数的取值. 2.利用导数研究函数零点个数问题,树立定义域优先意识,函数解析式中含有参数的需分类讨论.,
