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1、第4讲 函数图象的切线及交点个数问题,高考定位 在高考试题的导数压轴题中，把求切线和研究函数的性质交汇起来是一个命题热点；两个函数图象的交点问题可以转化为一个新的函数的零点问题，函数图象与函数零点是函数中的两个重要问题，在高考试题导数压轴题中涉及两个函数图象的交点问题是高考命题的另一热点.,真 题 感 悟,考 点 整 合,2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向，因此只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1x2的函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的零点分布情况如下：,3.研究两条曲线的交点个数的基本方法 (1)
2、数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图形交点个数得出答案. (2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.,热点一 函数图象的切线问题 微题型1 单一考查曲线的切线方程,探究提高 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.,微题型2 综合考查曲线的切线问
3、题,当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：,所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值. 当g(0)t30，即t3时，此时g(x)在区间(，1和1，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点. 当g(1)t10，即t1时，此时g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.,当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分别在区间1，0)，0，1)和1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调， 所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点. 综上可
4、知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1). 探究提高 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t).,过点N可作曲线f(x)的三条切线等价于方程236230有三个不同的解. 设g()23623， 则g()62126(2). 当变化时，g()，g()的变化情况如下表：,因为g()在R上只有一个极大值3和一个极小值5， 所以过点N可以作曲线f(x)x3x的三条切线.,热点二 函数图象的交点个数问题 微题型1 从方程根的角度考查,(2
5、)证明 由(1)知，f(x)x33x2x2. 设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4. 由题设知1k0. 当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10，g(0)4，所以g(x)0在(，0有唯一实根. 当x0时，令h(x)x33x24， 则g(x)h(x)(1k)xh(x). h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0. 所以g(x)0在(0，)没有实根. 综上，g(x)0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.,探究提高 研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最
6、大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.,微题型2 从函数的零点角度考查,f(x)与f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：,探究提高 对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.,1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式yy0f(x0)(xx0)，它的难点在于分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点P(x0，y0)的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而点P(x0，y0)处的切线，必以点P为切点，则此时切线的方程是yy0f(x0)(xx0). 2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.,
