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1、天津市七校2015届高三数学4月联考试题 理选择题(每题5分,共8道)1、设复数z1=1+i,z2=2+bi,若为纯虚数,则实数b=()-2 B.2 C.-1 D.12、不等式组表示的平面区域是()3、已知, ,则() A. a b c B. a c b C. c a b D. c b a4、阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为()A.7 B.9 C.10 D.115、已知双曲线C的离心率为2,焦点为,点A在C上.若|=2|,则cos=()A. B. C. D.6、已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P-ABCD的四个侧面中的最大面积是() A.3 B.8 C
2、. D.6;7、已知正项等比数列an满足,若存在两项,使得,则的最小值为()A. B. C. D.不存在8、已知定义在R上的函数y=f(x) 对于任意的x都满足f(x+1) =-f(x), 当-1x对一切nN*都成立的最大正整数k的值;(3)设,是否存在mN*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.19、(14分)椭圆E:(ab0)的焦点到直线x-3y=0的距离为,离心率为;抛物线G:y2=2px(p0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点,与E交于A,B,与G交于C,D.(1)求椭圆E及抛物线G的方程;(2)是否存在常数,使为常数,若存
3、在,求出的值,若不存在,请说明理由.20、(14分)已知函数f(x) =elnx, g(x) =lnx-x-1, h(x) =x2. (1) 求函数g(x) 的极大值; (2) 求证: 存在x0(1, +), 使g(x0) =g; (3) 对于函数f(x) 与h(x) 定义域内的任意实数x, 若存在常数k, b, 使得f(x) k x+b和h(x) k x+b都成立, 则称直线y=k x+b为函数f(x) 与h(x) 的分界线. 试探究函数f(x) 与h(x) 是否存在“分界线”? 若存在, 请给予证明, 并求出k, b的值; 若不存在, 请说明理由. 高三年级七校联考 理科数学 答案(201
4、5.4)一、选择题:题号12345678答案ABCBADAA二、填空题:9、36,18 10、5 11、 12、4 13、 14、12三、解答题: 15、解析(1)/(为锐角)(2)由 得 ,. 即的最大值为.16、解析 (1)记“从15天的PM2.5监测数据中,随机抽取三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件, (4分)(2)依据条件,服从超几何分布:其中,的可能值为0,1,2,3,(0,1,2,3) (7分)其分布列为:0123 (10分)(3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为(11分)设一年中空气质量达到一级或二级的天数为,则.,一年中平均有240天的空气质量达到一级或
5、二级.(13分)17、解析(1)在中, ,为中点,所以,又侧面底面,平面平面,平面,所以平面.又在直角梯形中,连结,易得,所以以为坐标原点,直线为轴,直线为轴,直线为轴建立空间直角坐标系,则 ,易证平面,是平面的法向量,.直线与平面所成角的余弦值为.(2),设平面的一个法向量为,则,取,得.点到平面的距离.(3)存在.设(),,.设平面的一个法向量为,则,取,得.又平面的一个法向量为,二面角的余弦值为,得,解得或(舍),存在点,使得二面角的余弦值为,且.18、解析(1)设、的公共焦点为,由题意得,故,.(2分)椭圆:,抛物线:.(4分)(2)存在.设,.直线的方程为,与椭圆的方程联立得化简得,
6、., (6分) (7分).直线的方程为与抛物线的方程联立得化简得, (9分). (11分),要使为常数,则,得,故存在,使为常数. (14分)19、解析(1)当时,(1分)当时, (2分)而当时, (). (4分)(2), .(7分),单调递增,. (8分)令,得,所以. (10分)(3)当为奇数时,为偶数,. (12分)当为偶数时,为奇数, (舍去)综上,存在唯一正整数,使得成立. (14分)20、解析(1)(). (1分)令,解得;令,解得. (2分)函数在内单调递增,在上单调递减. (3分)的极大值为 (4分)(2)由(1)知在上单调递减,令,则在上单调递减., (5分)取,则.(6分)故存在,使,即存在,使.(7分)(说明: 的取法不唯一, 只要满足, 且即可)(3)设(), 则,当时, , 函数单调递减;当时,函数单调递增.是函数的极小值点,也是最小值点,即.函数与的图象在处有公共点. (9分)设与存在“分界线”且其方程为,令函数,由,得在上恒成立,即在上恒成立,即,故. (11分)下面说明:,即()恒成立.设,则.当时, ,函数单调递增,当时,函数单调递减, 当时,取得最大值,.()恒成立. (13分)综合知,且,故函数与存在“分界线”, 且,. (14分)