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1、 “三角”专题辅导讲座【概括】三角部分的最大特点就是“三多”，即：公式多；变化多；要记忆的内容多。所以，抓住核心内容，了解知识间的内在联系，掌握各种基本题型的解题思路，科学记忆，是学好这部分的基本要求和关键所在。 一、任意角的三角函数（一） 任意角的三角函数的定义：这是“任意角的三角函数”的核心内容，后面的三角函数值的符号、特殊角的三角函数值、诱导公式、同角三角函数的基本关系式等内容，都是在定义的基础上推导出来的。【标准定义】: 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 角的正弦sin= y , 角的余弦cos= x , 角的正tan= . 【范例】（1）. 下列各式正确的是（
2、 ）A. B. C. D.【解析】,所以,，故否定C,D.在单位圆中由定义作出三角函数线，由可知，应选B。（2）(2008江苏) 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为（）求tan()的值； （）求的值【解析】由三角函数的定义可知，又,为锐角，所以= 因此（）tan()= （） ，所以为锐角，=【一般定义】：设是一个任意角，点P(x,y)是角终边上的任意一点，|OP|=r（r0），则角的正弦sin= ,角的余弦cos= , 角的正切tan= . 【范例】 （1）. (2014全国大纲文)已知角的终边经过点，则（ ）
3、A B C D（2）.(2011全国新课标文、理)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则= ( )（A） （B） (C) (D) 【解析】：由题知,选B【重要题型】.已知一个角的正切值，求这个角的正弦（或余弦）值： 例如（1）.(2010全国卷文)已知是第二象限的角，= .解法一：列出方程组解出的值，运算量大，易出错。解法二：根据已知条件及三角函数的定义，角的终边必定经过点（-2,1），所以。（2）(2013全国新课标理)设为第二象限角，若tan，则sin cos _.【解析】由tan=，易得tan ，与上题类似，用定义法很容易求得 sin ，cos . si
4、n cos . 【概括】 知“切”求“弦”，一般都用“定义法”。（二）三角函数值的符号：按象限记忆(口诀)：一全正，二正弦，三正切，四余弦.按函数记忆(口诀)：正弦上为正,余弦右为正,正切一三正。（三）.特殊角的三角函数值：（1）0o,90o,180o,270o,360o的三角函数值结合三角函数的符号法则来记忆。（2）30o,45o,60o的三角函数值利用三角尺结合锐角三角函数的定义来记忆。口诀记忆：一二三，三二一，三九二十七。如若有可能，请尽量记住以下这些特殊值：， ， （四）同角三角函数的基本关系式： =1，. 常见题型及解题技巧： 1.已知一个角的正弦（或余弦）值，求这个角的其他三角函数
5、值：例如.（2015福建文）若，且为第四象限角，则的值等于（ ）A B C D 【解析】由，且为第四象限角，则，则，故选D你就是不会做也不应该选A,C，为什么？【概括】这类题比较简单，只需熟练运用平方关系变形式（或）并注意根据角的范围确定所求式子的符号即可。要熟记几组常用的勾股数：，.2.已知一个角的正切值，求这个角的正弦和余弦的一个“齐次式”的值： 例如（1）. (2009陕西文)若,则的值为高.考.资.源.网 ( )（A）0 (B) (C)1 (D) 高.考.资.源.网【解析】: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以得, 原式=，故选B. （2）、(2015四川文)已知，则的值是_.（3）
6、（2015广东文）已知求的值； 求的值3.已知一个正弦和余弦的和或差的式子的值，一般先平方： 例如（1）(2013浙江理) 已知，则 （ ）（A） （B） （C） （D）【解析】 由(sin +2cos )2=得=，即整理，得3tan28tan3=0，解得tan=3或tan=，于是tan2= .（2）.(2012全国大纲卷理)已知为第二象限角，则cos2= ( )(A) （B） (C) (D)【解析】因为所以两边平方得，所以，因为已知为第二象限角，所以，又，所以=，选A.【另解】按照上题的思路,先求出的值再代入cos2=，运算较繁琐。（五）. 三角函数的诱导公式：用的三角函数表示形如(包括2k
7、, ,)角的三角函数的公式. 可以把上表填一下，熟练公式。但是千万不要去一组一组的死记硬背这些诱导公式。只要正确运用“纵变横不变，符号看象限”这十个口诀，再复杂的题目都可直接一步到位。 例如：（1）化简：的结果为_.【解析】原式= 其中 ， （2）. (2009全国文) 的值为（ ）(A) (B) (C) (D) 【解析】，故选择A。（3）. 若, ,则sin(-) 答案. 二、三角函数的图像与性质【知识要点回顾】熟记图像，看着图像能够说出性质即可。1.正弦函数,的图像与性质： 2.余弦函数,的图像： 3.正切曲线：正切函数是周期为的奇函数，它的定义域为_,值域是_;它的单调递增区间是_.【主
8、要题型及解题策略】（一）.比较三角函数值的大小：例如(2009重庆文)下列关系式中正确的是（ ）A B C D 【解析】因为，由于正弦函数在区间上为递增函数，因此，即。 【概括】 比较大小，要尽量化到同一个单调区间上的同名函数值来比较。（二）.解三角不等式-图解法：例（1）. (2002年广东、全国文、理)在内，使成立的的取值范围是（ ）(A) (B) (C)（D)（2）写出使下列不等式成立的x的取值集合：1） 2） 3） 1) 2) 3)【概括】先要选择最为恰当的一个周期求解，再把所求区间的两端都加上基本周期，不要忘记写。（三）三角函数图像的变换： 牢记函数图像平移规律：左加右减，上加下减，
9、简记为“左右、上下、加减”， 要注意先平移后伸缩和先伸缩后平移的不同之处。例如：(2015山东文、理)要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位 （四）已知函数的图像,写出其解析表达式：【范例】(2013四川文、理) 函数f(x)2sin(x)(0，0, -）的图像如图所示，则=_ .【解析】由得T=， ，令（为什么呢？） 解得，（五）求函数单调区间：例如：求函数的单调递增区间（这是我们年级上次的月考题）【解法一】这是一个复合函数，必修一上有关复合函数的单调性，我们曾经提到过“同增异减”。因为内函数是减函数，所以
10、要求函数f(x)的单调递增区间，实际上是求函数的单调递减区间，于是令即，解得【解法二】当自变量系数为负数时，一般先用诱导公式将其化为正数，然后再求解，这样可以减少失误。因为，所以就是要求的递减区间令，解得（六）求函数在给定区间上的最大值或最小值： 例题：求函数在区间上的最大值和最小值。【解析】，所以，f(x)在区间上的最大值是，最小值是-1。（七）作出函数在给定区间上的图像：注意画出函数在“一个周期内的图像”与“一个给定区间内的图像”有何异同。例如：画出函数在区间上的图像。要描六个点，特别注意要包含端点例如：画出函数在一个周期内的图像。要描五个点，特别注意如何确定x的值x0y01010三、三角
11、恒等变换（一）熟记有关公式，搞清内在联系，熟悉常见变形：1.熟记和角公式： 2.在和角公式中，以 -代替，即得差角公式（1）sin(+)= sincos+cossin; （4）sin(-)= sincos-cossin; （2）cos(+)= coscos-sinsin; （5）cos(-)= coscos+sinsin; （3） （6） 从角的排列顺序、函数名称、运算符号几个方面认真分析、对比，抓住公式特点正确记忆。 角的顺序为在前在后；正弦为异名之积，余弦为同名之积；正弦前后符号相同，余弦前后符号相反。3. 倍角公式：在和角公式中，令=，既得二倍角公式（7）sin2=2 sincos; （
12、8） （9）4.二倍角的余弦公式还有另外的表达形式：（10） （11）于是，得到： 升幂公式：1+cos2= , 1-cos2= ；降幂公式： sin2= ， cos2= ；5. 合一变换： =（二）掌握几个重要题型，搞清楚解题思路：1.已知角的计算问题：例如（1）.(2015全国新课标卷理)sin20cos10-con160sin10=（ ） （A） （B） （C） （D）【解析】法一：原式=sin20cos10+ cos20sin10=sin30=，故选D.法二：原式=cos70cos10+sin70sin10=cos60=，故选D.【说明】：逆用公式，是求值题中一种常见的类型，先根据题目的特点确定要用哪个公式，再对照公式逐项化为所需要的形式。（2）.(2008海南、宁夏理)=（ ）
