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1、第2讲空间图形的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号命题真假的判断1、2、5、6、7、10、12、14空间位置关系的证明11、15、16空间位置关系的综合问题3、4、8、9、13基础把关1.(2014浙江省重点中学联考)设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是(D)(A)若lm,m,则l(B)若l,m,则lm(C)若l,m,则lm(D)若l,lm,则m解析:选项A中也有可能l,选项A错;选项B中也有可能l与m异面或相交,选项B错;选项C中也有可能l与m异面,选项C错,选项D正确,故选D.2.(2014绍兴模拟)设a,b,c是空间三条直线,是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不
2、成立的是(B)(A)当c时,若c,则(B)当b时,若b,则(C)当b,且c是a在内的射影时,若bc,则ab(D)当b,且c时,若c,则bc解析:A选项的逆命题:当c时若,则c(真命题).B选项的逆命题:当b时,若,则b.由,b时,b与可以平行,可以垂直也可以斜交(假命题).C选项的逆命题:当b,且c是a在内的射影时,若ab,则bc(真命题).D选项的逆命题:当b,且c时,若bc则c(真命题).故选B.3.(2014浙江省样本学校测试卷)已知直线l平面,P,那么过点P且平行于直线l的直线(C)(A)只有一条,不在平面内(B)有无数条,不一定在平面内(C)只有一条,且在平面内(D)有无数条,一定在
3、平面内解析:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,因此l与P确定的平面与平面的交线一定与l平行.故选C.4.(2014山东烟台模拟)已知直线l平面,直线m平面,则“”是“lm”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件解析:若,l,l.又m,lm,故充分性成立;必要性不成立.如在正方体中,取平面ABCD为,AA1为l,平面AA1B1B为,D1C1为m,则满足l,lm,m,但此时与相交,故选A. 5.(2013高考广东卷)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是(D)(A)若,m,n,则mn(B)若,m,n,则mn(C)若
4、mn,m,n,则(D)若m,mn,n,则解析:采用模型法判断,可选用正方体作为模型,两个互相垂直的平面内的直线,可以平行、异面或垂直,故选项A错;两个互相平行的平面内的直线可以平行、异面、垂直,故选项B错;两条直线垂直,但过这两条直线的平面可平行、可相交,故选项C错,由m,mn知n,又因n,所以推得,故选D.6.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:ABEF;AB与CM成60的角;EF与MN是异面直线;MNCD.其中正确的是(D) (A)(B)(C)(D)解析:如图所示,画出折叠后的正方体,在正方体中正确,故选D.7.已知m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列
5、命题:若m,则m平行于内的无数条直线;若,m,n,则mn;若m,n,mn,则;若,m,则m.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)解析:由线面平行的定义及性质知正确;对于,若,m,n,则m、n可能平行,也可能异面,故错误;对于,由可知n,又n,所以,故正确;由面面平行的性质知正确.答案:8.(2014皖南八校联考)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是矩形,平面ABCD平面ABE,已知AB=2,AE=BE=,且当规定正视图方向垂直于平面ABCD时,该几何体的侧视图的面积为.若M,N分别是线段DE,CE上的动点,则AM+MN+NB的最小值为.解析:由题意可得侧视图是一个有一条直角边为的直角三角
6、形,所以其面积为BC=,解得BC=1,所以DE=CE=2,DCE是边长为2的等边三角形,AED=BEC=30.将ADE、DCE、BCE展开到同一平面上,在该平面内,AE=BE=,AEB=120,所以AB=3,当A、M、N、B共线时AM+MN+NB取到最小值,最小值是3.答案:39.(2014嘉兴二模)如图,梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,ADBCAB=234,E、F分别是AB、CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出四个结论: DFBC;BDFC;平面DBF平面BFC;平面DCF平面BFC.在翻折过程中,可能成立的结论是.解析:因为BCAD,AD与DF相交不垂直,所以BC与
7、DF不垂直,则不成立; :设点D在平面BCF上的射影为点P,当BPCF时就有BDFC,而ADBCAB=234可使条件满足,所以正确;:当点P落在BF上时,DP平面BDF,从而平面BDF平面BCF,所以正确.:因为点D的射影不可能在FC上,所以不成立.答案:10.(2014温州二模)如图,在四面体ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,过EF任作一个平面分别与直线BC,AD相交于点G,H,则下列结论正确的是.对于任意的平面,都有直线GF,EH,BD相交于同一点;存在一个平面0,使得GFEHBD;存在一个平面0,使得点G在线段BC上,点H在线段AD的延长线上;对于任意的平面,都有SEFG=SEF
8、H.解析:当点G、H分别为BC、AD的中点时平面与平面EGFH重合,EHGFBD,因此正确错;若成立则HF与线段AC相交,那么HF、EG为异面直线与题意矛盾,即错;对于,取AC中点M,连结GH交EF于O,则H、G到平面MEF距离相等,则GO=HO,则G、H到EF距离相等,所以正确.答案:11.(2014山东济南模拟)如图所示,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E、F、G、H分别是线段PA、PD、CD、BC的中点. (1)求证:BC平面EFG; (2)求证:DH平面AEG;(3)求三棱锥EAFG与四棱锥PABCD的体积比.解:(1)BCAD,ADEF,BCEF.BC平面EFG,EF平面E
9、FG,BC平面EFG.(2)PA平面ABCD.PADH,即AEDH.ADGDCH,HDC=DAG,AGD+DAG=90,AGD+HDC=90.DHAG.又AEAG=A,DH平面AEG.(3)=.能力提升12.对于四面体ABCD,给出下列四个命题:若AB=AC,BD=CD,则BCAD;若AB=CD,AC=BD,则BCAD;若ABAC,BDCD,则BCAD;若ABCD,ACBD,则BCAD.其中正确的是(B)(A)(B)(C)仅(D)解析:如图(1)所示,取线段BC的中点E,连接AE,DE, AB=AC,BD=CD,BCAE,BCDE,BC平面ADE,AD平面ADE,BCAD,故正确.如图(2)所
10、示,上、下底面不为正方形的长方体中,四面体ABCD满足AB=CD,AC=BD,则BCAD不成立,故错误;如图(3)所示,上、下底面不为正方形的长方体中,四面体ABCD中,ABAC,BDCD, 则BCAD不成立,若成立,则BCAD,与底面不是正方形矛盾,故错误;设点O为点A在平面BCD上的射影,如图(4)所示, 连接OB,OC,OD,ABCD,ACBD,OBCD,OCBD,点O为BCD的垂心,ODBC,BCAD,故正确,故选B.13.(2013高考江西卷)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n等
11、于(A)(A)8(B)9(C)10(D)11解析:取CD的中点H,连接EH,HF.在四面体CDEF中,CDEH,CDFH,所以CD平面EFH,所以AB平面EFH,所以正方体的左、右两个侧面与EF平行,共余4个平面与EF相交,即n=4.又因为CE与AB在同一平面内,所以CE与正方体下底面共面,与上底面平行,与其余四个面相交,即m=4,所以m+n=4+4=8.故选A.14.如图所示四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点.给出下列命题. 不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形;不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥;存在点D,使C
12、D与AB垂直并且相等;存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球球面上.其中正确命题的序号是.解析:过O作平面ABC的垂线,O为垂足,延长OO至D,使OD=OO.则四面体ABCD有三个面是直角三角形,故不正确;取点D使CA=CB=CD,且DCA=DCB=ACB,则四面体是以ABD为底面的正三棱锥,故不正确;将四面体OABC补成长方体OAEBCA1E1B1,则在此长方体外接球面上任取一点D(与A,B,C不重合),都满足O在四面体ABCD的外接球球面上,即正确,又CE1=AB且CE1AB,故正确.答案:15.(2014河北保定模拟)四棱锥SABCD中,四边形ABCD为矩形,M为AB中点,且SA
13、B为等腰直角三角形,SA=SB=2,SCBD,DA平面SAB. (1)求证:平面SBD平面SMC;(2)设四棱锥SABCD外接球的球心为H,求棱锥HMSC的高.(1)证明:SA=SB,M为AB中点,SMAB,又DA平面SAB,DASM,又ADAB=A,SM平面ABCD.又DB平面ABCD,SMDB.又SCBD,SCSM=S,DB平面SMC,又BD平面SBD,平面SBD平面SMC.(2)解:由(1)知DB平面SMC,DBMC,ABDBCM,故=BC=2.设AC与BD交于N点,由题意知,ASBS,DABS,SB平面SAD.SBSD,显然NA=NB=NC=ND=NS,H与N重合,即为球心.法一设MC与DB交于Q点,由于DB平面SMC,故HQ即为所求.MC=,QB=BD=2,HB=,故HQ=-=.即棱锥HMSC的高为.法二(等体积法)连接MH,SM平面ABCD,SHMC=SABC-SAMH-SMBC=(22-1-2)=,又SMSC=MCSM=.设棱锥HMSC的高为h
