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1、,第三节 圆的方程,1.掌握确定圆的几何要素 2掌握圆的标准方程与一般方程,1圆的定义 (1)在平面内，到 的距离等于 的点的轨迹叫做圆 (2)确定一个圆的要素是 和,定点,定长,半径,圆心,2圆的标准方程 3圆的一般方程 (其中 ) 其中圆心为 ，半径r .,(xa)2(yb)2r2(r0),x2y2DxEyF0,D2E24F0,4点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系 (1)若M(x0，y0)在圆外，则 . (2)若M(x0，y0)在圆上，则 (3)若M(x0，y0)在圆内，则,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2.,(x0a)2(y0b)2r2.,
2、5确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为： (1)根据题意选择标准方程或一般方程； (2)根据题设条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程,1如果圆x2y2DxEyF0与x轴相切于原点，则( ) AD0，E0，F0 BD0，E0，F0 CD0，E0，F0 DD0，E0，F0,解析：圆与x轴相切于原点，可知圆心在y轴上， D0，E0，又原点(0,0)在圆上， F0. 答案：C,2已知点P(2,1)在圆C：x2y2ax2yb0上，点P关于直线xy10的对称点也在圆C上，则实数a，b的值为( ) Aa3，b3 Ba0，b3
3、 Ca1，b1 Da2，b1,答案：B,3圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A(x2)2y25 Bx2(y2)25 C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25 答案：A,4若x2y24，则xy的最大值是_ 5圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的方程为_,答案：(x2)2(y3)25,热点之一 求圆的方程 1确定圆的方程的主要方法是待定系数法如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r.,2如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此
4、，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法设所求圆的方程为：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程，解方程组确定D、E、F的值,思路探究 因题中涉及圆心及切线，故可设标准形式较简单,由于所求的圆与x轴相切，r2b2.又所求圆心在直线3xy0上，3ab0.联立、解得a1，b3，r29；或a1，b3，r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29. 解法二：设所求圆的方程是,3DE0.联立、解得D2，E6，F1；或D2，E6，F1，故所求圆的方程是x2y22x6y10或x2y22x6y10.,即时
5、训练 求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心C在直线l：2x7y80上的圆的方程 解法一：设所求圆的方程为 (xa)2(yb)2r2.,课堂记录 (1)设txy，则yxt， 故xy的最大值和最小值即为直线yxt与已知圆有公共点时直线纵截距的最大值与最小值， 即直线与圆相切的纵截距,热点之三 与圆有关的轨迹问题 求轨迹方程的大致步骤： (1)建立平面直角坐标系，设出动点坐标； (2)确定动点满足的几何等式，并用坐标表示； (3)化简得方程，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，如有特殊情况，可适当予以说明，即删去增加的解或补上失去的解,例3 设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以
6、OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹,即时训练 点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中心轨迹方程是( ) A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21,答案：A,热点之四 圆的方程的综合应用 解决有关圆的问题，常利用数形结合的方法，结合图的有关性质可简化运算，解题时注意转化与化归的数学思想的应用,设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM. 则MAx轴，NCx轴， 由题意知：M，N点都在COD的平分线上， O，M，N三点共线 由RtOAMRtOCN可知， OM：ONMA：NC，,思维拓展 解答本例(1)易出现不会求N点坐
7、标，从而求不出圆N的方程的情况，出现这种情况的原因是不能根据题意判断O，M，N三点共线解题时要认真审题，挖掘题目的隐含条件,即时训练 已知点O(0,0)和点B(m,0)(m0)，动点P到O，B的距离之比为2：1，求： (1)P点的轨迹； (2)P点在什么位置时POB面积最大？并求出最大面积,通过对近年高考试题的统计分析可以看出，圆的方程作为由一次曲线向二次曲线的过渡，蕴含着解析法的解题思路和方法，是解析法的基础，因此，以圆为载体考查解析法的基本思想和方法，是历年高考考查的重点，题型以选择题和填空题为主，有时也会出现解答题，以低、中档题居多,例5 (2009辽宁高考)已知圆C与直线xy0及xy4
8、0都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22,答案 B,1(2010福建高考)以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) Ax2y22x0 Bx2y2x0 Cx2y2x0 Dx2y22x0,解析：抛物线的焦点坐标是(1,0)，该点到原点的距离是1，故所求圆的方程为(x1)2y21，化为一般方程为x2y22x0，故选D. 答案：D,2(2010课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为_ 又圆C过A(4,1)，B(2,1)， (4a)2(1b)2r2， (2a)2(1b)2r2，,答案：(x3)2y22,
