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1、第二课时 直线和平面所成的角,2.3.1 直线与平面垂直的判定,问题提出,1.直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么?,定义:如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线与这个平面垂直.,定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.,直线和平面 所成的角,2.当直线与平面相交时,对于直线与平面垂直的情形,我们已作了一些相关研究,对于直线与平面不垂直的情形,我们需要从理论上作些分析.,知识探究(一):平面的斜线,思考1:当直线与平面相交时,它们可能垂直,也可能不垂直,如果一条直线和一个平面相交但不垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫
2、做斜足.那么过一点作一个平面的斜线有多少条?,思考2:过斜线上斜足外一点向平面引垂线,连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影.那么斜线l在平面内的射影有几条?,思考3:两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形?,思考4:如图,过平面外一点P引平面的两条斜线段PA、PB,斜足为A、B,再过点P引平面的垂线,垂足为O,如果PAPB,那么OA与OB的大小关系如何?反之成立吗?,思考5:如图,过平面内一点P引平面的两条斜线PA、PB,这两条斜线段在平面内的射影分别为PC、PD,如果PAPB,那么PC与PD的大小关系确定吗?,思考6:如图,直线l是平面的一条斜线,它
3、在平面内的射影为b,直线a在平面内,如果ab,那么直线a与直线l垂直吗?为什么?反之成立吗?,知识探究(二):直线和平面所成的角,思考1:平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度,我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度,并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定,那么角的顶点宜选在何处?,思考2:如图,AB为平面的一条斜线,A为斜足,AC为平面内的任意一条直线,能否用BAC反映斜线AB与平面的相对倾斜度?为什么?,思考3:反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足,角的一边在斜线上,另一边在平面内的哪个位置最合适?为什么?,思考4:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫
4、做这条斜线和这个平面所成的角.在实际应用或解题中,怎样去求这个角?,思考5:特别地,当一条直线与平面垂直时,规定它们所成的角为90;当一条直线和平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0.这样,任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映,那么直线与平面所成的角的取值范围是什么?,思考6:如图,BAD为斜线AB与平面所成的角,AC为平面内的一条直线,那么BAD与BAC的大小关系如何?,BAC BAD,思考7:两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何?反之成立吗?一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何?,思考8:过平面外一点P引平面的斜线,斜足为A,若斜线PA与平面所成的角为50,那么点A在平面内的运动轨迹是什么图形?,理论迁移,例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求直线A1B和平面ABCD所成的角; (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.,例2 如图,AB为平面的一条斜线,B为斜足,AO平面,垂足为O,直线BC在平面内,已知ABC=60,OBC=45,求斜线AB和平面所成的角.,作业: P67 练习:2. P74习题2.3A组:9.,