《2018《走向高考》高三数学 5-3第三讲进平面向量的数量积教师讲义手册课件（全国版） 文 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018《走向高考》高三数学 5-3第三讲进平面向量的数量积教师讲义手册课件（全国版） 文 新人教a版（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基础知识,一、基本概念 已知两个 向量a和b，作 a， b，则AOB(0180)叫做向量a与b的 ，当a与b同向时， ；当a与b反向时， ，当a与b的夹角是 时，a与b垂直，记作 .数量 叫做a与b的 ，记作 ，即 .其中 叫向量b在a方向上的投影a在e上的投影为 ；ab的几何意义：数量积ab等于 ,非零,夹角,0,180,90,数量积(或内积),ab,|a|b|cos,ab,ab|a|b|cos,|b|cos,ae,a的长度|a|与b在a的方向,上的投影|b|cos的乘积,二、数量和的运算律 1 ； 2 ； 3 . 三、常用结论 1(ab)2 ； 2(ab)(ab) ； 3a2b20 ； 4
2、|a|b| |a|b|.,abba,(a)b(ab)ab,(ab)cacbc,a22abb2,a2b2,a0且b0,四、数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 1ea ； 2ab ； 3当a与b同向时，ab ；当a与b反向时，ab .特别地，aa 或|a| ； 4cos ； 5|ab| . 注意：ab0 /a0或b0；(ab)ca(bc),ae,|a|cos,ab0,|a|b|,|a|b|,|a|2,|a|b|,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ；a2 ；|a| ；若a的起点(x1，y1)，终点为(x2，y2)，则|a| ； ab ； |
3、ab|a|b| ,x1x2y1y2,x1x2y1y20,易错知识 一、对数量积的定义理解不透彻 1有四个式子：0a0；0a0； |ab|a|b|.其中正确的序号为_ 答案： 2在边长为2的正三角形ABC中， _. 答案：2,3设a，b，c是非零向量，则(ab)c是 ( ) A数量 B与a共线的向量 C与c共线的向量 D无意义 答案：C,二、应用数量积的运算律失误 4给出下列命题：若a0，则对任一向量b，有ab0；若a0，则对任意一个非零向量b，有ab0；若a0，ab0，则b0；若ab0，则a，b中至少有一个为0；若a0，abac，则bc；若abac，且bc，当且仅当a0时成立，其中正确命题的序
4、号有_ 答案：,三、用向量方法判断图形的形状失误 5在ABC中，已知 8，则此三角形的形状为_ 答案：正三角形 6在平行四边形ABCD中， 则当(ab)2(ab)2时，该平行四边形为_ 答案：矩形,回归教材 1下列命题正确的是 ( ) A单位向量都相等； B若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量； C|ab|ab|，则ab0； D若a0与b0是单位向量，则a0b01；,解析：A.单位向量仅仅长度相等，方向可能不同；B.当b0时，a与c可以为任意向量；C.|ab|ab|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；D.单位向量还要考虑夹角故选C. 答案：C,2判断下列各命题正确的是 (
5、 ) A若a0，abac，则bc； B若abac，则bc，当且仅当a0时成立； C(ab)ca(bc)对任意向量a、b、c都成立； D对任一向量a，有a2|a|2.,解析：A.abac， |a|b|cos|a|c|cos(其中、分别为a与b，a与c的夹角) |a|0， |b|cos|c|cos. cos与cos不一定相等， |b|与|c|不一定相等 b与c也不一定相等 A不正确,B若abac，则|a|b|cos|a|c|cos(、分别为a与b，a与c的夹角) |a|(|b|cos|c|cos)0. |a|0或|b|cos|c|cos. 当bc时，|b|cos与|c|cos可能不相等 B不正确,
6、C(ab)c(|a|b|cos)c，a(bc)a(|b|c|cos)(其中、分别为a与b，b与c的夹角) (ab)c是与c共线的向量，a(bc)是与a共线的向量 C不正确，D正确 答案：D,3(教材P1612题改编)下列四个等式： 0a0；0a0；0 ；|ab|a|b|其中正确的个数有 ( ) A4 B3 C2 D1 解析：以上四个等式只有是正确的故选D. 答案：D,4(2009北京海淀一模)若向量a(1,2)，b(1，3)，则向量a与b的夹角等于 ( ) A45 B60 C120 D135 且0，180，所以135. 答案：D,5(教材P13212题改编)已知三角形ABC三个顶点坐标分别为A
7、(5,2)，B(3,4)，C(1，4)，则这个三角形是 ( ) A锐角三有形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 答案：B,【例1】 (2006四川高考)如右图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是 ( ),命题意图 考查向量数量积的概念，以及数量积的运算 解析 先搞清所涉及的两个向量的夹角，再用数量积的概念进行计算，最后比较大小,答案 A 总结评述 向量数量积的运算是以向量数量积的概念为基础的，理解和掌握向量数量积的概念对有关用向量求夹角和距离起着决定性的作用,已知|a|2，|b|5，若： (1)ab； (2)ab； (3)a与b的夹角为30，分别求ab
8、. 思路点拨：根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角.,解：(1)当ab时，若a与b同向，则它们的夹角为0， ab|a|b|cos025110； 若a与b反向，则它们的夹角为180， ab|a|b|cos18025(1)10. (2)当ab时，它们的夹角为90， ab|a|b|cos902500.,(3)当a与b的夹角为30时， ab|a|b|cos30,方法技巧：(1)求平面向量数量积的步骤是： 求a与b的夹角，0，180； 分别求|a|和|b|； 求数量积，即ab|a|b|cos，若知道向量的坐标a(x1，y1)，b(x2，y2)，则求数量积时可用公式abx1x2y1y2计算
9、 (2)非零向量a和b，abab0. (3)非零向量a与b共线的充要条件是ab|a|b|. 温馨提示：ab时，易漏掉0和180中的一种情况.,【例2】 已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？ 思路点拨 由(kab)(a2b)(kab)(a2b)0，展开求解即可,解析 (kab)(a2b)， (kab)(a2b)0， ka2(2k1)ab2b20， k52(2k1)54cos602420，,方法技巧 (1)非零向量ab0ab是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握 (2)若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)
10、，则abx1x2y1y20. 温馨提示 本题易错点在于将ab与ab的条件混淆,mn5mn90. 即(2)nm10， m2n0， 联立2n29n90.,【例3】 已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求a与b的夹角； (2)求|ab|和|ab|； (3)若 作ABC，求ABC的面积,解析 (1)由(2a3b)(2ab)4|a|24ab3|b|261及|a|4，|b|3，得ab6. 又0，180，120.,反思归纳 解这类题关键是理顺思路，用对公式，避免出现一些不必要的错误例如，计算|ab|时，利用(ab)2a22abb2得到的ab是数量积|a|b|cos，而不是|a|b|.
11、在ABC中求角时，还应注意向量 的夹角并非三角形内角ABC.,已知平面内不共线三向量a、b、c两两所成的角相等，并且|a|1，|b|2，|c|3，试求：向量abc的长度及与已知三向量的夹角,解析：三向量在一平面内两两所成的角相等，并且不共线，则两两所成的角为 设abc与a、b、c夹角分别为1、2、3.,【例4】 已知a，b是非零向量，若a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直试求：a与b的夹角 分析 要求a、b的夹角，就需要利用公式ab|a|b|cos，因此我们利用题设中的垂直条件，用|a|，|b|等来表示ab，这样就可以将它代入公式，即可求出的值,解答 方法1：由条件知 由得46ab23b
12、20，所以b22ab. 将它代入得a22ab.|a|b| 所以由b22ab可知|b|22|a|b|cos， 所以cos ，所以60. 即所求的向量a，b的夹角为60.,方法2：由条件知： 158得|a|b| 由得7|a|216|a|b|cos15|b|20 716cos150，cos 0180，60 即向量a与b的夹角为60.,总结评述 向量的数量积满足交换律abba，但不满足ab|a|b|，这与平时的数量乘积运算不同，同时要注意如果abbc，但不能得出ac.,(2009黑龙江大庆一模)已知|a|2，|b|4，ab4，则a与b的夹角为 ( ) A30 B60 C150 D120 答案：D,且0，180，所以120.,设两个向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围,1零向量：(1)0与实数0的区别，不可写错：0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系 2ab0不能推出a0或b0，因为ab0ab. 3abac(a0)不能推出bc，即消去律不成立 4向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中， 应为120，而不是60.,请同学们认真完成课后强化作业,
