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1、第27练完美破解立体几何证明题内容精要立体几何中的题目最主要的两点就是证明和计算，其中证明主要是来证明空间中的点、线、面间的平行或垂直关系本节就来探讨空间中的位置关系的证明问题题型一空间中的平行问题例1在如图所示多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，且ACADCDDE2，AB1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF平面ACD，并证明(2)求多面体ABCDE的体积破题切入点(1)可先猜后证，可以利用线面平行的判定定理进行证明(2)找到合适的底面解如图，(1)由已知AB平面ACD，DE平面ACD，所以ABED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，AH，
2、则FH綊ED，所以FH綊AB，所以四边形ABFH是平行四边形，所以BFAH，又因为BF平面ACD，AH平面ACD，所以BF平面ACD.(2)取AD中点G，连接CG.因为AB平面ACD，所以CGAB，又CGAD，ABADA，所以CG平面ABED，即CG为四棱锥CABED的高，求得CG，所以VCABED2.题型二空间中的垂直问题例2如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB160，ABB1C.(1)求证：平面AA1B1B平面BB1C1C.(2)若AB2，求三棱柱ABCA1B1C1的体积破题切入点(1)考查面面垂直的判定定理(2)注意利用棱柱体积和锥体体
3、积公式间的关系(1)证明由侧面AA1B1B为正方形，知ABBB1.又ABB1C，BB1B1CB1，所以AB平面BB1C1C，又AB平面AA1B1B，所以平面AA1B1B平面BB1C1C.(2)解由题意，CBCB1，设O是BB1的中点，连接CO，则COBB1.由(1)知，CO平面AA1B1B，且COBCAB.连接AB1，则VCABB1SABB1COAB2CO.因为VB1ABCVCABB1VABCA1B1C1，所以VABCA1B1C12.故三棱柱ABCA1B1C1的体积为2.题型三空间中的平行、垂直综合问题例3在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别
4、为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.(1)求证：平面EFG平面PMA；(2)求证：平面EFG平面PDC；(3)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比破题切入点(1)证明EG、FG都平行于平面PMA.(2)证明GF平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解(1)证明E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，EGPM，GFBC.又四边形ABCD是正方形，BCAD，GFAD.EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，EG平面PMA，GF平面PMA.又EG、GF都在平面EFG内且相交，平面EFG平面PMA.(2)证明由已知MA平面ABCD，PDMA，PD平
5、面ABCD.又BC平面ABCD，PDBC.四边形ABCD为正方形，BCDC.又PDDCD，BC平面PDC.由(1)知GFBC，GF平面PDC.又GF平面EFG，平面EFG平面PDC.(3)解PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1，则PDAD2.DA平面MAB，且PDMA，DA即为点P到平面MAB的距离，VPMABVPABCDSMABDAS正方形ABCDPDSMABS正方形ABCD(22)14.即三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比为14.总结提高1.证明平行关系的方法：(1)证明线线平行的常用方法：利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；利用平行四边形进行转换；利
6、用三角形中位线定理证明；利用线面平行、面面平行的性质定理证明(2)证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行(3)证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行2证明空间中垂直关系的方法：(1)证明线线垂直的常用方法利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；利用勾股定理逆定理；利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可(2
7、)证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决1若平面平面，直线a，点B，则在内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一与a平行的直线答案D解析由直线a
8、与B确定的平面与有唯一交线故存在唯一与a平行的直线2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于()A60B90C30D随点E的位置而变化答案B解析在正方体中，显然有A1DAB，A1DAD1，所以A1D面AD1C1B，又C1E面AD1C1B，故A1DC1E.故选B.3已知、是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a、b，a，b，a，b；存在两条异面直线a、b，a，b，a，b，可以推出的是()A B C D答案C解析对于，平面与还可以相交；对于，当ab时，不一定能推出，所以是错误的，易知正确，故选
9、C.4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，ACEFG.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体PAEF中必有()AAPPEF所在平面 BAGPEF所在平面CEPAEF所在平面 DPGAEF所在平面答案A解析在折叠过程中，ABBE，ADDF保持不变AP面PEF.5如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是()A BC D答案B解析对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，BC
10、AC，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC；对于，点M为线段PB的中点，OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC；对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确6.如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1FHC1G所得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是()AEHFGB四边形EFGH是矩形C是棱柱D是棱台答案D解析A中，EHA1D1，EHBC，EH平面BCC1B1.又过EH的平面EFGH与平面BCC1B1交于FG，EHFG.故A成立B中，易得四边形EF
11、GH为平行四边形，BC平面ABB1A1，BCEF，即FGEF.四边形EFGH为矩形故B正确C中可将看作以A1EFBA和D1HC1CD为上、下底面，以AD为高的棱柱故C正确7.如图，在空间四边形ABCD中，MAB，NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_答案平行解析在平面ABD中，MNBD.又MN平面BCD，BD平面BCD，MN平面BCD.8如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_答案解析由于在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E为AD的中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面
12、AB1CAC，EFAC，F为DC的中点，EFAC.9.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)答案解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，错；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA4
13、5，正确10给出命题：在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；设l，m是不同的直线，是一个平面，若l，lm，则m；已知，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，“”是“m”的充要条件；在三棱锥SABC中，SABC，SBAC，则S在平面ABC内的射影是ABC的垂心；a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行其中，正确的命题是_(只填序号)答案解析错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；错误，“”是“m”的必要不充分条件；错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知正确11如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD
