《2016高考数学大一轮复习 3.3用导数研究函数的最值试题 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 3.3用导数研究函数的最值试题 理 苏教版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲用导数研究函数的最值一、填空题1函数f(x)2x43x21在区间上的最大值和最小值分别是_解析 令f(x)8x36x0，得x0或x，x0及x不合题意，舍去f231，f，f(2)21.原函数的最大值为f(2)21，最小值为f.答案 21，2已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值是_解析因为f(x)3x2a，所以由题意可得在1，)上有3x2a0恒成立，所以a(3x2)min，而(3x2)min3，所以a3.答案33函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，则实数a的取值范围是_解析由f(x)x21，易知f(x)在(，1)上递减，在(1,1)上递增，在(1，)上递
2、减故函数在(a,10a2)上存在最大值的条件为答案2,1)4若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_答案15设函数f(x)x32x5，若对任意x1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_解析f(x)3x2x20，解得x1或，f(1)，f，f(1)，f(2)7.m.答案6函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为_解析f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，当0x时，f(x)0，且只有在x时，f(x)0，f(x)是上的增函数，f(x)的最大值为fe，f(x)的最小值为f(0).f(x)在上的值域为.答案7已知曲线f(x)a
3、x2bxc(a0，b，cR)通过点P(0,2a28)，在点Q(1，f(1)处的切线垂直于y轴，则的最小值为_解析由已知曲线f(x)ax2bxc(a0，b，cR)通过点P(0,2a28)知c2a28.又知其在点Q(1，f(1)处的切线垂直于y轴，f(1)0，即2ab0.a.a0，a4，即的最小值为4.答案48已知函数f(x)的图象过点(0，5)，它的导数f(x)4x34x，则当f(x)取得极大值5时，x的值应为_解析易知f(x)x42x25，f(x)0时，x0或x1，只有f(0)5.答案09已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)若f(1)0，则函数yf(x)在上的最大值和最小值分别为_解析
4、f(1)0，32a10，即a2.f(x)3x24x13(x1)由f(x)0，得x1或x；由f(x)0，得1x.因此，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.f(x)在x1处取得极大值为f(1)2；f(x)在x处取得极小值为f.又f，f(1)6，且，f(x)在上的最大值为f(1)6，最小值为f.答案6；10已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则a与b的夹角范围为_解析f(x)x2|a|xab，f(x)0的|a|24ab0，cosa，b，又ycos 在(0，)上是递减的，a，b.答案二、解答题11已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.
5、(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值解 (1)因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即12ab0,8a2bcc16，化简得解得(2)由(1)知f(x)x312xc；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2,2)上为减函数；当x(2，)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x12处取得极小值f(2)c1
6、6.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.12已知函数f(x)(xR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数yg(x)对任意x满足g(x)f(4x)，证明当x2时，f(x)g(x)；(3)如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x24.(1)解由f(x)得f(x).令f(x)0，解得x2，则f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)增极大值减所以f(x)在(，2)内是增函数，在(2，)内是减函数函数f(x)在x2时取得极大值f(2).(2)证明因
7、为g(x)f(4x)，所以g(x).令F(x)f(x)g(x)，即F(x)，则F(x).当x2时，2x0,2x13，从而e3e2x10，则函数F(x)0，F(x)在(2，)上是增函数所以F(x)F(2)0，故当x2时，f(x)g(x)成立(3)证明因为f(x)在(，2)内是增函数，在(2，)内是减函数x1x2，且f(x1)f(x2)，所以x1，x2不可能在同一单调区间内，不妨设x12x2，由(2)可知f(x2)g(x2)，又g(x2)f(4x2)，所以f(x2)f(4x2)，因为f(x1)f(x2)，所以f(x1)f(4x2)，因为x22,4x22，x12，f(x)在区间(，2)内为增函数，故
8、x14x2，即x1x24.13已知f(x)2xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)若存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x(0，)，都有f(x)2成立(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2(ln x1)令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递减；在上单调递增故当x时，f(x)取最小值为.(2)解存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，即2xln xx2ax3在x(0，)能成立，等价于a2ln xx在x(0，)能成立，等价于a(2ln xx)min.记h(x)2ln xx，x(
9、0，)，则h(x)1.当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.所以当x1时，h(x)取最小值为4，故a4.(3)证明记j(x)2，x(0，)，则j(x)2.当x(0,1)时，j(x)0；当x(1，)时，j(x)0.所以当x1时，j(x)取最大值为.又由(1)知，当x时，f(x)取最小值为，故对一切x(0，)，都有f(x)2成立14已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0. (1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解(1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，则f(x)ax2(a1
10、)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依题意需对任意x(0,1)，有f(x)0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1.当a1时，对任意x(0,1)有f(x)(x21)ex0，f(x)符合条件；当a0时，对任意x(0,1)，f(x)xex0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0a1.(2)因为g(x)(2ax1a)ex，所以g(x)(2ax1a)ex.(i)当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.(ii)当a1时，对于任意x(0,1)有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.(iii)当0a0.若1，即0a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g2ae，在x0或x1处取得最小值而g(0)1a，g(1)(1a)e，则当a时，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a1时，g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.
