《2016高考数学大一轮复习 3.2导数与函数的单调性、极值、最值教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 3.2导数与函数的单调性、极值、最值教师用书 理 苏教版（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 1函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤： 求f(x)； 求方程f(x)0的根； 检查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值 3函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x
2、)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 (3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大( ) (4)对可导函数f(x)，f(
3、x0)0是x0点为极值点的充要条件( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( ) (6)函数f(x)xsin x有无数个极值点( ) 1函数f(x)x22ln x的单调减区间是_ 答案 (0,1) 解析 f(x)2x(x0) 当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数 2(2013浙江改编)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则下列命题正确的是_ 当k1时，f(x)在x1处取到极小值； 当k1时，f(x)在x1处取到极大值； 当k2时，f(x)在x1处取到极小值； 当k2时，f(x)在x1处取到极大值 答案 解析 当k1时，
4、f(x)exx1，f(1)0， x1不是f(x)的极值点 当k2时，f(x)(x1)(xexex2)， 显然f(1)0，且x在1附近的左边f(x)0， f(x)在x1处取到极小值故只有正确 3函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_ 答案 (1，) 解析 设m(x)f(x)(2x4)， m(x)f(x)20， m(x)在R上是增函数 m(1)f(1)(24)0， m(x)0的解集为x|x1， 即f(x)2x4的解集为(1，) 4设10， 函数yf(x)(1f(1)10，xln x000， ()20，令exa0，则exa，xln a. 因此当a0时
5、，f(x)的单调增区间为R， 当a0时，f(x)的单调增区间为ln a，) (2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立 aex在x(2,3)上恒成立 e21，则f(x)的单调减区间为_ (2)若f(x)x2bln(x2)在1，)上是减函数，则b的取值范围是_ 答案 (1)(2,2a) (2)(，1 解析 (1)f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)， 由a1知，当x0， 故f(x)在区间(，2)上是增函数； 当22a时，f(x)0， 故f(x)在区间(2a，)上是增函数 综上，当a1时， f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数， 在区间(2,2a)上是减函数 (2)转化为f(x)
6、x0在1，)上恒成立， 即bx(x2)在1，)上恒成立，令g(x)x(x2)(x1)21， 所以g(x)min1，则b的取值范围是(，1 题型二 利用导数求函数的极值 例2 (2014福建)已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x0时，x2ln 2时，f(x)0，f(x)单调递增 所以当xln 2时，f(x)取得极小值， 且极小值f(ln 2)eln 22ln 22ln 4， f(x)无极大值 (2)证明 令g(x)exx2，则g(x)ex2x. 由(1)得g(x)f(x)f(ln
7、2)0. 故g(x)在R上单调递增，又g(0)10， 因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x20，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知00时，求函数f(x)在1,2上的最小值 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，2分 当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)4分 当a0时，令f(x)a0，可得x， 当00； 当x时，f(x)0x22x30)， 当x0时，有00且a13，解得10) 令y0，得00，当x(1，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，不符合题意； 若10，当x(
8、a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，不符合题意，所以a(1,0) 9已知函数f(x)ln x，求函数f(x)的极值和单调区间 解 因为f(x)， 令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)， f(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，) f(x) 0 f(x) 极小值 所以x1时，f(x)的极小值为1，无极大值 f(x)的单调递增区间为(1，)， 单调递减区间为(0,1) 10设函数f(x)x2exxex. (1)求f(x)的单调区间； (2)若x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围 解 (1)函数f(x)的定义域为(，)
9、，f(x)xex(exxex)x(1ex) 若x0，f(x)0，则1exm恒成立 即实数m的取值范围为(，2e2) B组 专项能力提升 (时间：30分钟) 1函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意的xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集是_ 答案 x|x0 解析 构造函数g(x)exf(x)ex1， 求导得到g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1 由已知f(x)f(x)1，可得到g(x)0， 所以g(x)为R上的增函数； 又g(0)e0f(0)e010， 所以exf(x)ex1， 即g(x)0的解集为x|x0 2已知f(x)是可导的函数，且f(x)
10、e2 016f(0) f(1)ef(0)，f(2 016)e2 016f(0) f(1)ef(0)，f(2 016)0；f(0)f(1)0； f(0)f(3)0，得x3， f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)， (3，)上是增函数又a0，y极小值f(3)abc0. 又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图 f(0)0， 正确结论的序号是. 4(2013福建)已知函数f(x)xaln x(aR) (1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值 解 函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1. (1)当a2时，f(
11、x)x2ln x，f(x)1(x0)， 因而f(1)1，f(1)1， 所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)， 即xy20. (2)由f(x)1，x0知： 当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa. 又当x(0，a)时，f(x)0， 从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值 综上，当a0时，函数f(x)无极值； 当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值 5(2014山东)设函数f(x)k(ln x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的
12、底数) (1)当k0时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围 解 (1)函数yf(x)的定义域为(0，) f(x)k() . 由k0可得exkx0， 所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增 所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，) (2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减， 故f(x)在(0,2)内不存在极值点； 当k0时，设函数g(x)exkx，x(0，) 所以g(x)exkexeln k， 当00，yg(x)单调递增 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点 当k1时， 得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增 所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k) 函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点， 当且仅当 解得ek. 综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为(e，)
