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1、8.6立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1 u2.3用向
2、量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()1若直线l的一个方向向量为a(2,5,7)，平面的
3、一个法向量为u(1,1，1)，则直线l与平面的位置关系为_答案l或l2已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点中，在平面内的是_P1(2,3,3) P2(2,0,1)P3(4,4,0) P4(3，3,4)答案解析逐一验证法，对于，1(1,4,1)，1n61260，1n，点P1在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内3已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为_答案，4解析由题意知，.所以即解得x，y，z4.4若A(0,2，)，B(1，1，)，C(2,1，)是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)
4、，则xyz_.答案23(4)解析(1，3，)，(2，1，)，a0，a0，xyzyy(y)23(4).题型一证明平行问题例1(2013浙江改编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.思维点拨证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0,0)因为3，所以Q.因为M为AD的中点，故M
5、(0，1)又P为BM的中点，故P，所以.又平面BCD的一个法向量为a(0,0,1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.方法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连结OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0)，设点F坐标为(x，y,0)，则(xx0，yy0,0)(x0，y0,0)，(x0，y0,0)又由证法一知(x0，y0,0)，PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，PQ平面BCD.思维升华用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明
6、该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 (2014湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由方法一(1)证明如图(1)，连结AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知BC1AD1.当1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FPAD1.所以BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故
7、直线BC1平面EFPQ. 图(1)(2)解如图(2)，连结BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，且EFBD.又DPBQ，DPBQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQBD，且PQBD，从而EFPQ，且EFPQ. 图(2)在RtEBQ和RtFDP中，因为BQDP，BEDF1，于是EQFP，所以四边形EFPQ是等腰梯形同理可证四边形PQMN是等腰梯形分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连结OH，OG，则GOPQ，HOPQ，而GOHOO，故GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则GOH90.连结EM，
8、FN，则由EFMN，且EFMN，知四边形EFNM是平行四边形连结GH，因为H，G分别是EF，MN的中点，所以GHME2.在GOH中，GH24，OH212()22，OG21(2)2()2(2)2，由OG2OH2GH2，得(2)224，解得1，故存在1，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角方法二以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图(3)所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，(2,0,2)，(1,0，)，(1,1,0)，(1，1,
9、0)，(1,0，2)(1)证明当1时，(1,0,1)， 图(3)因为(2,0,2)，所以2，即BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)解设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，则由可得于是可取n(，1)同理可得平面PQMN的一个法向量为m(2,2，1)若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1.故存在1，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD
10、.思维点拨证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使m.令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，则ac，ab，ac，mabc，m(ac)4240.故m，结论得证方法二如图所示，取BC的中点O，连结AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空
11、间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，(1,2，)，(2,1,0)因为n，n，故令x1，则y2，z，故n(1,2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD.思维升华用向量证明垂直的方法：(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示如图所示，在四棱锥PABCD中，P
12、C平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.证明(1)以C为坐标原点，分别以CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M(，0，)，(0，1,2)，(2，3,0)，(，0，)，令n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即令y2，得n(，2,
13、1)n2010，n，又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA，又PADAA，BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.题型三解决探索性问题例3如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)求二面角DA1AC的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由思维点拨设BD与AC交于点O，连结A1O，证明OB，OC，OA1两两垂直，从而以点
