《2016高考数学大一轮复习 5.1平面向量的概念及线性运算教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 5.1平面向量的概念及线性运算教师用书 理 苏教版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.1平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小称为向量的长度(或称为模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又称为共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc).减法求a与b
2、的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当a0时，a0；当0时，a0(a)()a；() aaa；(ab)ab3.向量共线定理如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(3)已知两向量a，b，若|a|1，|b|1，则|a
3、b|2.()(4)ABC中，D是BC中点，则()()(5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是_答案3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.2在ABC中，若3，12(其中1，2为实数)，则12_
4、.答案1解析由题意可得()，所以121.3已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_答案2解析如图所示，由，且0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2，则2.4在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_.(用a，b表示)答案ab解析由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.题型一平面向量的概念例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_答案解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|
5、且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.故“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.思维升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数
6、图象的移动混为一谈(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量下列命题中，正确的是_(填序号)有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；如果ab，bc，那么ac；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小答案解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果b0，则a与c不一定平行；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实
7、数，可以比较大小题型二平面向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则_.(用a，b表示)(2)在ABC中，c，b，若点D满足2，则_(用b，c表示)答案(1)ab(2)bc解析(1)如图，由题意知，DEBE13DFAB，ab(ab)ab.(2)2，22()，32，bc.思维升华(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果(1)在ABCD中，a，b，3，M
8、为BC的中点，则_.(用a，b表示)(2)(2013江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_答案(1)ab(2)解析(1)由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.(2)由题意，得()，则1，2，即12.题型三共线定理的应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线(2)解kab和akb共线，存在实数，使kab(
9、akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是两个不共线的非零向量，kk10，k210.k1.思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，否则向量a、b不共线如图，在ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则_. (2)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若430，则_.答案(1)(2)3解析(1)由平面向量的三角形法则，得.又因为点D是BC边上靠近B的三等分点，所以().(2)4303()03
10、，所以3.方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(14分)如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.思维点拨(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出manb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解规范解答解设manb，则manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt.6分(m1)anbtatb.消去t得，m12n，即m2n1.9分又manbaanb，baab.又C、M、B三点共线，与共线12分存在实数t
11、1，使得t1，即(m)anbt1.anbt1at1b，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.14分温馨提醒(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会方法与技巧1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意
12、三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.A组专项基础训练(时间：40分钟)1下列说法正确的个数是_温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；零向量没有方向；向量的模一定是正数；非零向量的单位向量是唯一的答案0解析错误，只有速度和位移是向量；错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；错误，|0|0；显然错误2已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab_.答案(5,7)解析2ab(4,8)(1,1)(5,7)3设a，b不共
