《2016高考数学大一轮复习 12.6随机变量的均值与方差教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 12.6随机变量的均值与方差教师用书 理 苏教版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.6随机变量的均值与方差1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的概率分布表为Xx1x2xnPp1p2pn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称V(X)2(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)V(aXb)a2V(X)(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X) p ，V(X)p(1p)(2)若XB
2、(n，p)，则E(X) np ，V(X)np(1p)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小()(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，期望值也增大()(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关()1某射手射击所得环数的概率分布如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，则y的值为 答案0.4解析由可得y0.4.2设随机变量的分布列为P(k)(k2,4,6,8,10)则V() .
3、答案8解析E()(246810)6，V()(4)2(2)20222428.3在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是 答案0.7解析E(X)10.700.30.7.4有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则V(X) .答案解析由题意知取到次品的概率为，XB(3，)，V(X)3(1).题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取
4、(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()，V()，求abc.思维点拨利用古典概型概率公式求P()解(1)由题意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的概率分布为23456P(2)由题意知的概率分布为123P所以E()，V()222.化简得解得a3c，b2c，故abc321.思维升华对于均值、方差的计算要尽可能的运用其性质，从而运算简便运算性质：E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X)(2014山东)乒乓球台面被
5、球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的概率分布与均值解(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，则P(A3)，
6、P(A1)，P(A0)1.记Bj为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”(j0,1,3)，则P(B3)，P(B1)，P(B0)1.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得P(0)P(A0
7、B0)，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)，P(2)P(A1B1)，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)，P(6)P(A3B3).可得随机变量的概率分布为012346P所以均值E()012346.题型二二项分布的均值、方差例2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布及均值E()思维点拨对
8、于(1)中p的值，可利用对立事件概率公式求解解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.(2)由题意，得P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.所以，随机变量的概率分布为0123P故随机变量的均值E()0123.(或B(3，)，E()3.)思维升华求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果XB(n，p)，则用公式E(X)np；V(X)np(1p)求解，可大大减少计算量(2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只
9、有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？解方法一(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”，因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)，即这2人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E
10、(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)由已知可得，X1B(2，)，X2B(2，)，所以E(X1)2，E(X2)2，从而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2)，因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大方法二(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三个两两互斥的事件，因为P(X0)(1)(1)，P(X2)(1)，P(X3)(1)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这2人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、
11、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的概率分布如下：X1024PX2036P所以E(X1)024，E(X2)036.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大题型三均值与方差的应用例3现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利
12、润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润(1)求X1，X2的概率分布和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围思维点拨(1)求概率分布，应先确定X的取值，再求X的取值对应的概率；(2)由E(X1)E(X2)，找出关于p的不等式，即可求出p的范围解(1)X1的概率分布为X11.21.181.17PE(X1)1.21.181.171.18.由题设得XB(2，p)，即X的概率分布为X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布为X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E(X2)1
13、.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3.(2)由E(X1)1.18，整理得(p0.4)(p0.3)0，解得0.4p0.3.因为0p1，所以当E(X1)E(X2)时，p的取值范围是0p0.3.思维升华(1)解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定某中学高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题规定
